题目描述

你这个学期必须选修 numCourse 门课程，记为 0 到 numCourse-1。

在选修某些课程之前需要一些先修课程。例如，想要学习课程 0，你需要先完成课程 1，我们用一个匹配来表示他们：[0,1]

给定课程总量以及它们的先决条件，请你判断是否可能完成所有课程的学习？

样例

输入: 2, [[1,0]] 
输出: true
解释: 总共有 2 门课程。学习课程 1 之前，你需要完成课程 0。所以这是可能的。

输入: 2, [[1,0],[0,1]]
输出: false
解释: 总共有 2 门课程。学习课程 1 之前，你需要先完成课程 0；
并且学习课程 0 之前，你还应先完成课程 1。这是不可能的。

说明

• 输入的先决条件是由 边缘列表 表示的图形，而不是 邻接矩阵。详情请参见 图的表示法。
• 你可以假定输入的先决条件中没有重复的边。
• 1 <= numCourses <= 10^5

算法

(拓扑排序) $O(n + m)$

1. 将先修关系构成一张图，由每个数对的第二个数字向第一个数字连边。
2. 首先将所有入度为 0 的点进队，准备用宽度优先搜索进行拓扑排序。
3. 宽搜过程中，将当前结点所关联的结点的入度减 1；若发现新的入度为 0 的结点，则将其进队。
4. 最后如果遍历了所有结点，则说明可以满足要求；否则，先修关系存在环。

时间复杂度

• 假设 $n$ 为点数，$m$ 为边数，拓扑排序仅遍历所有的点和边一次，故总时间复杂度为 $O(n + m)$。

空间复杂度

• 需要额外 $O(n + m)$ 的空间存储邻接表，点的入度和队列。

C++ 代码

class Solution {
public:
    bool canFinish(int numCourses, vector<pair<int, int>>& prerequisites) {
        vector<vector<int>> graph(numCourses);
        vector<int> in_degree(numCourses, 0);

        for (int i = 0; i < prerequisites.size(); i++) {
            in_degree[prerequisites[i].first]++;
            graph[prerequisites[i].second].push_back(prerequisites[i].first);
        }

        queue<int> q;
        vector<bool> vis(numCourses, false);

        for (int i = 0; i < numCourses; i++)
            if (in_degree[i] == 0)
                q.push(i);

        while (!q.empty()) {
            int sta = q.front();
            q.pop();
            vis[sta] = true;
            for (int i = 0; i < graph[sta].size(); i++) {
                in_degree[graph[sta][i]]--;
                if (in_degree[graph[sta][i]] == 0)
                    q.push(graph[sta][i]);
            }
        }

        for (int i = 0; i < numCourses; i++)
            if (vis[i] == false)
                return false;

        return true;
    }
};