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新鲜事
原文
我们在很小刚刚识数的时候就听大人讲过1+1=2。我们将这句话视为“至理名言”，在以后的学习中，这句话无疑为数学垫下了基石。
长大了一点，我们会好奇为什么“1+1=2”，我们会开玩笑地问同学这是为什么，这往往使我们无言以对。可是即便我们不明白它的原理，仍没有对生活学习有任何影响，也就没有再想过这个问题。
本篇的内容将会带着大家从公理出发，一步步地证明“1+1=2”。下文将几乎全是符号推导，可能会比较枯燥，但我仍希望大家能坚持看完。
我们先约定一些记号：n' 为自然数后继，规定 1=0'，2=0''，目标证明：0'+0'=0''
皮亚诺算术公理告诉了我们:
1. 0是自然数
2. 自然数的后继仍为自然数
3. 0不是任意自然数的后继
4. ∀m∀n,(m'=n')→(m=n)
5. 数学归纳公理：(P(0)∧∀n(P(n)→P(n')))→∀n P(n)
6. 等式替换公理：∀x∀y∀z(x=y→(x=z→y=z))
7. 后继保相等公理：∀x∀y(x=y→x'=y')
加法的递归定义为:
∀x:x+0=x
∀x∀y:x+y'=(x+y)'
在证明1+1=2之前，我们先推导等式三大基本性质:
1. 等号自反性：x=x
由加法定义得 x+0=x，代入等式替换公理，经假言推理，证得 x=x。
2. 等号对称性：x=y→y=x
由等式替换公理，令 z=x，得 x=y→(x=x→y=x)。结合已证自反性 x=x，假言推理得 x=y→y=x。
3. 等号传递性：(x=y∧y=z)→x=z
若 x=y，由对称性得 y=x，代入等式替换公理，结合 y=z，可推导出 x=z。
现在才是真正的证明:
∵ ∀x∀y,x+y'=(x+y)'
∵ 令 x=0',y=0，代入得：0'+0'=(0'+0)'
∵ ∀x,x+0=x
∵ 令 x=0'，代入得：0'+0=0'
∵ ∀x∀y,x=y→x'=y'
∵ 由 0'+0=0'，后继保等推导得：(0'+0)'=(0')'
∵ 由记号定义：(0')'=0''，得：(0'+0)'=0''
∵ 0'+0'=(0'+0)'，(0'+0)'=0''
∵ 根据已证等号传递性，得：0'+0'=0''
由记号替换 1=0'、2=0''，可得：1+1=2，证毕。
想必以后再有人问你这个问题的时候，你也就能从容地回答了。
