题目描述

小渊和小轩是好朋友也是同班同学，他们在一起总有谈不完的话题。

一次素质拓展活动中，班上同学安排坐成一个 m 行 n 列的矩阵，而小渊和小轩被安排在矩阵对角线的两端，因此，他们就无法直接交谈了。

幸运的是，他们可以通过传纸条来进行交流。

纸条要经由许多同学传到对方手里，小渊坐在矩阵的左上角，坐标(1,1)，小轩坐在矩阵的右下角，坐标(m,n)。

从小渊传到小轩的纸条只可以向下或者向右传递，从小轩传给小渊的纸条只可以向上或者向左传递。 

在活动进行中，小渊希望给小轩传递一张纸条，同时希望小轩给他回复。

班里每个同学都可以帮他们传递，但只会帮他们一次，也就是说如果此人在小渊递给小轩纸条的时候帮忙，那么在小轩递给小渊的时候就不会再帮忙，反之亦然。 

还有一件事情需要注意，全班每个同学愿意帮忙的好感度有高有低（注意：小渊和小轩的好心程度没有定义，输入时用0表示），可以用一个0-100的自然数来表示，数越大表示越好心。

小渊和小轩希望尽可能找好心程度高的同学来帮忙传纸条，即找到来回两条传递路径，使得这两条路径上同学的好心程度之和最大。

现在，请你帮助小渊和小轩找到这样的两条路径。

算法1

(动态规划) $O(n^3)$

1.这题和方格取数的区别是，两条路径不能交叉。研究了一下不交叉路径的规律，应该是一条路的x坐标严格大于另一条路，并且另一条路y坐标严格大于这条路。最后一步要例外，因为都走到一起肯定是要重合了。

我觉得这个代码效率不一定高，但是比较整齐，逻辑判断没有那么多。

2.补充一下方法二的代码，可以用四个变量来记录x1,y2,x2,y2更清楚的表达状态转移。这里有个小trick,除开头和结尾重合的时候之外，一定有一种方法，可以两条路径不重合的情况下，找到更大的值，因此不用特殊判断两条路径的x大小。

C++ 代码1

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 55;

int w[N][N];
int f[2 * N][N][N];

int main()
{
    int n, m;
    cin >> n >> m;

    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        for (int j = 1; j <= m; j ++ )
            cin >> w[i][j];

    for (int k = 2; k <= n + m; k ++ )
        for (int i1 = 1; i1 <= n; i1 ++ )
            for (int i2 = 1; i2 <= n; i2 ++ )
            {
                int j1 = k - i1, j2 = k - i2;

                if (j1 >= 1 && j1 <= m && j2 >= 1 && j2 <= m)
                {
                    if ((i2 > i1 && j1 > j2) ||(k == n + m))
                    {
                        int t = w[i1][j1] + w[i2][j2];
                        int &x = f[k][i1][i2];
                        x = max(x, f[k - 1][i1 - 1][i2 - 1] + t);
                        x = max(x, f[k - 1][i1 - 1][i2] + t);
                        x = max(x, f[k - 1][i1][i2 - 1] + t);
                        x = max(x, f[k - 1][i1][i2] + t);
                    }
                }
            }

    cout << f[n + m][n][n] << endl;

    return 0;
}

C ++ 代码2

#include <iostream>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 55;

int dp[N][N][N][N];
int g[N][N];

int n, m;

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);

    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        for (int j = 1; j <= m; j ++ )
            scanf("%d", &g[i][j]);

    for (int s = 2; s <= n + m; s ++ )
        for (int x1 = 1; x1 <= n; x1 ++ )
            for (int x2 = 1; x2 <= n; x2 ++ )
            {
                int y1 = s - x1;
                int y2 = s - x2;

                if (y1 <= 0 ||  y1 > m || y2 <= 0 || y2 > m) continue;
                int &ll = dp[x1][y1 - 1][x2][y2 - 1];
                int &lu = dp[x1][y1 - 1][x2 - 1][y2];
                int &ul = dp[x1 - 1][y1][x2][y2 - 1];
                int &uu = dp[x1 - 1][y1][x2 - 1][y2];
                if (x1 == x2) 
                    dp[x1][y1][x2][y2] = max(max(ll, lu), max(ul, uu)) + g[x1][y1];
                else
                    dp[x1][y1][x2][y2] = max(max(ll, lu), max(ul, uu)) + g[x1][y1] + g[x2][y2];
            }

    cout << dp[n][m][n][m] << endl;

    return 0;
}