来源： 第十届蓝桥杯省赛C++B组

算法标签: 数论最大公约数

题目描述

数学老师给小明出了一道等差数列求和的题目。

但是粗心的小明忘记了一部分的数列，只记得其中 N 个整数。

现在给出这 N 个整数，小明想知道包含这 N 个整数的最短的等差数列有几项？

输入格式

输入的第一行包含一个整数 N。

第二行包含 N 个整数 A1,A2,⋅⋅⋅,AN。(注意 A1∼AN 并不一定是按等差数
列中的顺序给出)

输出格式

输出一个整数表示答案。

数据范围

2≤N≤100000,
0≤Ai≤109

输入样例：

5
2 6 4 10 20

输出样例：

10

样例解释

包含 2、6、4、10、20 的最短的等差数列是 2、4、6、8、10、12、14、16、18、20。

思路

已知给出这 N 个整数，小明想知道包含这 N 个整数的最短的等差数列有几项
该数列为等差数列，求等差数列最短。
我们已知等差数列求N公式为(a(n)-a(0))/d+1，即等差数列 队尾减队头的差 除以 公差 +1；
由此我们知道，本题根本不需要其余的队列数字，现在的问题转为，如何使得队伍从小到大排序
以及为(a(n)-a(0))/d+1如何才能最短。

我们可以轻松的通过sort函数排序。
而使得 (a(n)-a(0))/d+1最小则需要使得 公差最大。

由此，最后一步，我们只需要通过辗转相除法求得最大d，即可通过等差公式求得答案。

C++ 代码

#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;
const int N=1e5+10;
int a[N];

int gcd(int a,int b)//辗转相除法 在两个数中求得最大公约数，当一方为0时，返回另一方。
{
    return b?gcd(b,a%b):a;
}

int main()  
{
    int n;
    cin>>n;
    for(int i=0;i<n;i++)cin>>a[i];

    sort(a,a+n);//回复等差数列正常排序

    int d=0;
    for(int i=1;i<n;i++)d=gcd(d,a[i]-a[0]);//求得数列中的最大公约数，又因为辗转相除，所以gcd(a,b)中a,b任意一个为零时，可以返回另一个数，再和下一个数求最大公约数。

    if(d)cout<<(a[n-1]-a[0])/d+1;//特判d为0！即有常数个，否则出现K/d时d==0逻辑错误Float Point Exception   
    else cout<<n;

    return 0;
}