题目描述

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包，每种物品都有无限件可用。

第 i 种物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积和价值。

输出格式
输出一个整数，表示最大价值。

数据范围
0<N,V≤1000
0<vi,wi≤1000

样例

输入样例
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5
输出样例：
10

基本dp

(暴力枚举) $O(n m^2)$

时间复杂度

参考文献

C++ 代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N=1010;

int v[N],w[N];

int f[N][N];


int main(){
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);

    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d%d",&v[i],&w[i]);

    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            for(int k=0;v[i]*k <= j;k++)
            {
                f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i]);
            }
        }
    }

    printf("%d ",f[n][m]);


    return 0;
}

滚动数组

(暴力枚举) $O(n m^2)$

blablabla

时间复杂度

参考文献

C++ 代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N=1010;

int v[N],w[N];

int f[2][N];


int main(){
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);

    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d%d",&v[i],&w[i]);

    int cnt=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            for(int k=0;v[i]*k <= j;k++)
            {
                f[cnt][j]=max(f[cnt][j],f[(cnt+1)%2][j-k*v[i]]+k*w[i]);
            }
        }
        cnt=(cnt+1)%2;
    }

    printf("%d ",f[cnt][m]);


    return 0;
}

最终dp

$O(n m k/v[i])$

已知：

• f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i],f[i-1],[j-2*v[i]]+2*w[i],……,f[i-1],[j-k*v[i]]+k*w[i])

• f[i][j-v[i]]=max( f[i-1][j-v[i]],f[i-1][j-v[i]+w[i]),……,f[i-1],[j-(k-1)*v[i]+(k-1)*w[i])

• f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-v[i])

时间复杂度O(mn)

参考文献

C++ 代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N=1010;

int v[N],w[N];

int f[N];


int main(){
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);

    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d%d",&v[i],&w[i]);

    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {

           if(j >= v[i]) f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);

        }
    }

    printf("%d ",f[m]);


    return 0;
}