题目描述

给定四个整数 sx，sy，tx 和 ty，如果通过一系列的转换可以从起点 (sx, sy) 到达终点 (tx, ty)，则返回 true，否则返回 false。

从点 (x, y) 可以转换到 (x, x+y) 或者 (x+y, y)。

样例

输入：sx = 1, sy = 1, tx = 3, ty = 5
输出：true
解释：
可以通过以下一系列转换从起点转换到终点：
(1, 1) -> (1, 2)
(1, 2) -> (3, 2)
(3, 2) -> (3, 5)

输入：sx = 1, sy = 1, tx = 2, ty = 2
输出：false

输入：sx = 1, sy = 1, tx = 1, ty = 1
输出：true

限制

• 1 <= sx, sy, tx, ty <= 10^9

算法

(数学，辗转相除法) $O(\log (\max(tx, ty)))$

1. 试图从点 (sx, sy) 向点 (tx, ty) 进行转换非常不便，因为不确定每次要进行哪种转换，但从点 (tx, ty) 向 (sx, sy) 转换就很方便，因为逆向转换总是确定的。
2. 暴力的来做，我们每次让 (tx, ty) 中较大的数字减去较小的数字，便得到一组新的 (tx, ty)。我们仅需要判断是否经过若干次转换可以到达点 (sx, sy)。
3. 由于数据范围很大，暴力的做法会超时。我们可以考虑用取模操作来替代减法。如果当前的 tx > sx 并且 ty > sy，则我们令较大的数字模掉较小的数字。循环结束后，如果 tx < sx 或者 ty < sy，则不可能到达；如果 tx == sx，则我们判断 ty 与 sy 的差值是否能由 sx 拼凑而成；同理，如果 ty == sy，则我们判断 tx 与 sx 的差值是否能由 sy 拼成。

时间复杂度

• 取模操作最多进行 $O(\log (\max(tx, ty)))$ 次。

空间复杂度

• 仅需要常数的额外空间。

C++ 代码

class Solution {
public:
    bool reachingPoints(int sx, int sy, int tx, int ty) {
        while (tx > sx && ty > sy) {
            if (tx < ty) ty %= tx;
            else tx %= ty;
        }

        if (tx < sx || ty < sy)
            return false;

        if (sx == tx)
            return (ty - sy) % sx == 0;

        return (tx - sx) % sy == 0;
    }
};