题目描述

n-皇后问题是指将 n 个皇后放在 n∗n 的国际象棋棋盘上，使得皇后不能相互攻击到，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上。

现在给定整数n，请你输出所有的满足条件的棋子摆法。

输入格式

共一行，包含整数n。

输出格式

每个解决方案占n行，每行输出一个长度为n的字符串，用来表示完整的棋盘状态。

其中”.”表示某一个位置的方格状态为空，”Q”表示某一个位置的方格上摆着皇后。

每个方案输出完成后，输出一个空行。

数据范围

1≤n≤9

输入样例：

4

输出样例：

.Q..
...Q
Q...
..Q.

..Q.
Q...
...Q
.Q..

主要考点

dfs

坐标图解

时间复杂度$O(n^2 * n !)$

排列为$n!$
输出方案为$n ^ 2$
时间复杂度为：$O(n^2 * n !)$

C++ 代码1 ---- 逐行枚举

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 20;//对角线数目最多为2 * N - 1

char g[N][N];//存储方案
bool col[N], dg[N], bdg[N];//分别标记列、对角线、反对角线当前状况,当前可用为false，反之为true.
int n;

void dfs(int u){
    if(u == n){//输出方案
        for(int i = 0; i < n; i ++) cout << g[i] << endl;
        puts("");
        return ;
    }

    for(int j = 0; j < n; j ++){
        if(!col[j] && !dg[u + j] && !bdg[u - j + n]){//当前列、对角线、反对角线可用
            g[u][j] = 'Q';
            col[j] = dg[u + j] = bdg[u - j + n] = true;
            dfs(u + 1);

            //回溯
            g[u][j] = '.';
            col[j] = dg[u + j] = bdg[u - j + n] = false;
        }
    }

}

int main(){
    cin >> n;

    for(int i = 0; i < n; i ++){//初始化
        for(int j = 0; j < n; j ++){
            g[i][j] = '.';
        }
    }  

    dfs(0);//从第0行开始暴搜

    return 0;
}

时间复杂度$O(2 ^ {n ^2})$

C++代码2 ----逐行逐列一个一个依次枚举

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 20;//对角线数量最多为2 * N - 1

char g[N][N];
bool row[N], col[N], dg[N], bdg[N];//分别记录当前行、列、对角线、斜对角线的状况
int n;


//按照单个位置依次逐行逐列枚举
void dfs(int x, int y, int s){//x, y 表示当前枚举位置, s表示当前放置皇后的数量
    if(y == n) y = 0, x ++;//换行
    if(x == n){
        if(s == n){//方案合理, 打印方案
            for(int i = 0; i < n; i ++) cout << g[i] << endl;
            puts("");
        }
        return ;
    }

    //当前位置不放皇后
    dfs(x, y + 1, s);


    //当前位置放置皇后
    if(!row[x] && !col[y] && !dg[x + y] && !bdg[y - x + n]){
        g[x][y] = 'Q';
        row[x] = col[y] = dg[x + y] = bdg[y - x + n] = true;
        dfs(x, y + 1, s + 1);

        //回溯
        g[x][y] = '.';
        row[x] = col[y] = dg[x + y] = bdg[y - x + n] = false;
    }

}


int main(){
    cin >> n;

    for(int i = 0; i < n; i ++){//初始化
        for(int j = 0; j < n; j ++){
            g[i][j] = '.';
        }
    }

    dfs(0, 0, 0);

    return 0;
}