来源： 模板题

算法标签: 前缀和

题目描述

输入一个n行m列的整数矩阵，再输入q个询问，每个询问包含四个整数x1, y1, x2, y2，表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。

对于每个询问输出子矩阵中所有数的和。

输入格式

第一行包含三个整数n，m，q。

接下来n行，每行包含m个整数，表示整数矩阵。

接下来q行，每行包含四个整数x1, y1, x2, y2，表示一组询问。

输出格式

共q行，每行输出一个询问的结果。

数据范围

1≤n,m≤1000,
1≤q≤200000,
1≤x1≤x2≤n,
1≤y1≤y2≤m,

−1000≤矩阵内元素的值≤1000

输入样例：

3 4 3
1 7 2 4
3 6 2 8
2 1 2 3
1 1 2 2
2 1 3 4
1 3 3 4

输出样例：

17
27
21

思路

利用容斥原理思想

1. 当前 前缀和矩阵坐标如何求？

back[i][j] = back[i-1][j]+back[i][j-1]-back[i-1][j-1]+arr[i][j];
前缀和的思路是当前值等于前面所有值的和达到快速查询的目的。
二为前缀的当前值即为二维范围内的所有值之和。
同时我们可以通过容斥原理求出当前前缀和的值。

2. 如何求一定范围的子矩阵的值？

我们可以如上所述，只是从单个的点扩展到面，通过同样的容斥原理计算区域内的值。
下图所框的代表一定区域的值的和。
back[x2][y2] - back[x1-1][y2] - back[x2][y1-1] + back[x1-1][y1-1];

C++ 代码

#include<iostream>
using namespace std;

const int N = 1e3+10;
int back[N][N];
int n,m,q;

int main()
{
    cin>>n>>m>>q;

    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)//假设为一个棋盘，坐标正是1-n
            {
                cin>>back[i][j];
                back[i][j]=back[i-1][j]+back[i][j-1]-back[i-1][j-1]+back[i][j];
            }
    while(q--)  
        {
            int x1,x2,y1,y2;
            cin>>x1>>y1>>x2>>y2;
            cout<<back[x2][y2]-back[x1-1][y2]-back[x2][y1-1]+back[x1-1][y1-1]<<endl;//带入上面的公式，直接输出答案
        }
    return 0;
}