题目描述

给定一个整数 $n$，将数字 $1∼n$ 排成一排，将会有很多种排列方法。

现在，请你按照字典序将所有的排列方法输出。

输入格式

共一行，包含一个整数 $n$。

输出格式

按字典序输出所有排列方案，每个方案占一行。

数据范围
$1≤n≤7$

输入样例

3

输出样例

1 2 3
1 3 2
2 1 3
2 3 1
3 1 2
3 2 1

算法1

(STL) $O(n! * n * logn)$

这道题我在看视频时有许多人在说next_permutation,这个函数其实求的是这个排列的下一个排列，若以是最后一个排列，就返回false。

这个最坏时间复杂度是这样的，但一般比这个好很多

C++ 代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[8];
int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=i,printf("%d ",i);
    while(next_permutation(a+1,a+1+n)){
        printf("\n");
        for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d ",a[i]);
    }
}

算法2

(递归dfs) $O(n*n!)$

dfs就像这个样子：

我们可以想象成有$n$个格子，你有$n$张卡片，分别是 $1$~$n$ 。现在可以向格子里面放卡片，那我们约定一个规则，每到一个格子前，就按$1、2、3 … n$的顺序来放。我们现在来模拟一下整个过程（按3举例）。

将1号卡牌放入第1个格子里
将2号卡牌放入第2个格子里
将3号卡牌放入第3个格子里
你前面没有格子了
此次放进1~n的格子的卡牌上的数的顺序：1 2 3

将3号卡牌拿出第3个格子里
将2号卡牌拿出第2个格子里
将3号卡牌放入第2个格子里
将2号卡牌放入第3个格子里
你前面没有格子了
此次放进1~n的格子的卡牌上的数的顺序：1 3 2

将2号卡牌拿出第3个格子里
将3号卡牌拿出第2个格子里
将1号卡牌拿出第1个格子里
将2号卡牌放入第1个格子里
将1号卡牌放入第2个格子里
将3号卡牌放入第3个格子里
你前面没有格子了
此次放进1~n的格子的卡牌上的数的顺序：2 1 3

将3号卡牌拿出第3个格子里
将1号卡牌拿出第2个格子里
将3号卡牌放入第2个格子里
将1号卡牌放入第3个格子里
你前面没有格子了
此次放进1~n的格子的卡牌上的数的顺序：2 3 1

将1号卡牌拿出第3个格子里
将3号卡牌拿出第2个格子里
将2号卡牌拿出第1个格子里
将3号卡牌放入第1个格子里
将1号卡牌放入第2个格子里
将2号卡牌放入第3个格子里
你前面没有格子了
此次放进1~n的格子的卡牌上的数的顺序：3 1 2

将2号卡牌拿出第3个格子里
将1号卡牌拿出第2个格子里
将2号卡牌放入第2个格子里
将1号卡牌放入第3个格子里
你前面没有格子了
此次放进1~n的格子的卡牌上的数的顺序：3 2 1

将1号卡牌拿出第3个格子里
将2号卡牌拿出第2个格子里
将3号卡牌拿出第1个格子里
到此结束！！！

知道了这个，代码实现就不难了，自己看代码再理解一下吧

C++ 代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long a[21],n;
bool b[21];
void dfs(int step) //代表要在第step个格子里放卡片
{
    if(step==n+1){ //代表前面没有格子了
        for(int i=1;i<=n;i++)printf("%lld ",a[i]);
        printf("\n");
        return;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(b[i]==0){
            b[i]=1; //第i张牌用过
            a[step]=i;
            dfs(step+1);
            b[i]=0; //第step个格子里的的卡片取出
        }
}
int main()
{
    scanf("%lld",&n);
    dfs(1); 
}

算法3

(剪枝优化dfs) $O(n!)$

其实会发现最后一层只有一个枝。

而我们还用一个循环来找，岂不是浪费时间？
我们就可以在step==n的时候特判一下，就可以了。

C++ 代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long a[8],n;
bool b[8];
void dfs(int step)
{
    static int w=n*(n+1)/2;
    if(step==n){
        for(int i=1;i<n;i++)printf("%lld ",a[i]);
        printf("%lld\n",w);
        return;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(b[i]==0){
            b[i]=1;
            a[step]=i;
            w-=i;
            dfs(step+1);
            w+=i;
            b[i]=0;
        }
}
int main()
{
    scanf("%lld",&n);
    dfs(1); 
}

算法4

(位运算) $O(n*n!)$

跟普通的也没啥实际区别,就是将一个整数看为一个bool数组，因为整数在电脑中使用二进制存储整数，用位运算读取每一位即可。

C++ 代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[8],n;
void dfs(int step,int state){
    if(step==n+1){
        for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d ",a[i]);
        puts("");
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(!(state>>i&1)){
            a[step]=i;
            dfs(step+1,state+(1<<i));
        }
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    dfs(1,0);
}

算法5

(位运算+剪枝优化dfs) $O(n!)$

跟之前的也没啥实际区别。

C++ 代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[8],n;
void dfs(int step,int state){
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(!(state>>i&1)){
            a[step]=i;
            if(step==n){
                for(int j=1;j<=n;j++)printf("%d ",a[j]);
                printf("\n");
            }else dfs(step+1,state+(1<<i));
        }
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    dfs(1,0);
}

算法6

(打表) $O(1)$

C++ 代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    switch(n){
        case 1:
            cout<<1;
            break;
        case 2:
            cout<<"1 2\n2 1";
            break;
        case 3:
            cout<<"1 2 3\n1 3 2\n2 1 3\n2 3 1\n3 1 2\n3 2 1";
            break;
        case 4:
            cout<<"1 2 3 4\n1 2 4 3\n1 3 2 4\n1 3 4 2\n1 4 2 3\n1 4 3 2\n2 1 3 4\n2 1 4 3\n2 3 1 4\n2 3 4 1\n2 4 1 3\n2 4 3 1\n3 1 2 4\n3 1 4 2\n3 2 1 4\n3 2 4 1\n3 4 1 2\n3 4 2 1\n4 1 2 3\n4 1 3 2\n4 2 1 3\n4 2 3 1\n4 3 1 2\n4 3 2 1";
            break;
        case 5:
            cout<<"1 2 3 4 5\n1 2 3 5 4\n1 2 4 3 5\n1 2 4 5 3\n1 2 5 3 4\n1 2 5 4 3\n1 3 2 4 5\n1 3 2 5 4\n1 3 4 2 5\n1 3 4 5 2\n1 3 5 2 4\n1 3 5 4 2\n1 4 2 3 5\n1 4 2 5 3\n1 4 3 2 5\n1 4 3 5 2\n1 4 5 2 3\n1 4 5 3 2\n1 5 2 3 4\n1 5 2 4 3\n1 5 3 2 4\n1 5 3 4 2\n1 5 4 2 3\n1 5 4 3 2\n2 1 3 4 5\n2 1 3 5 4\n2 1 4 3 5\n2 1 4 5 3\n2 1 5 3 4\n2 1 5 4 3\n2 3 1 4 5\n2 3 1 5 4\n2 3 4 1 5\n2 3 4 5 1\n2 3 5 1 4\n2 3 5 4 1\n2 4 1 3 5\n2 4 1 5 3\n2 4 3 1 5\n2 4 3 5 1\n2 4 5 1 3\n2 4 5 3 1\n2 5 1 3 4\n2 5 1 4 3\n2 5 3 1 4\n2 5 3 4 1\n2 5 4 1 3\n2 5 4 3 1\n3 1 2 4 5\n3 1 2 5 4\n3 1 4 2 5\n3 1 4 5 2\n3 1 5 2 4\n3 1 5 4 2\n3 2 1 4 5\n3 2 1 5 4\n3 2 4 1 5\n3 2 4 5 1\n3 2 5 1 4\n3 2 5 4 1\n3 4 1 2 5\n3 4 1 5 2\n3 4 2 1 5\n3 4 2 5 1\n3 4 5 1 2\n3 4 5 2 1\n3 5 1 2 4\n3 5 1 4 2\n3 5 2 1 4\n3 5 2 4 1\n3 5 4 1 2\n3 5 4 2 1\n4 1 2 3 5\n4 1 2 5 3\n4 1 3 2 5\n4 1 3 5 2\n4 1 5 2 3\n4 1 5 3 2\n4 2 1 3 5\n4 2 1 5 3\n4 2 3 1 5\n4 2 3 5 1\n4 2 5 1 3\n4 2 5 3 1\n4 3 1 2 5\n4 3 1 5 2\n4 3 2 1 5\n4 3 2 5 1\n4 3 5 1 2\n4 3 5 2 1\n4 5 1 2 3\n4 5 1 3 2\n4 5 2 1 3\n4 5 2 3 1\n4 5 3 1 2\n4 5 3 2 1\n5 1 2 3 4\n5 1 2 4 3\n5 1 3 2 4\n5 1 3 4 2\n5 1 4 2 3\n5 1 4 3 2\n5 2 1 3 4\n5 2 1 4 3\n5 2 3 1 4\n5 2 3 4 1\n5 2 4 1 3\n5 2 4 3 1\n5 3 1 2 4\n5 3 1 4 2\n5 3 2 1 4\n5 3 2 4 1\n5 3 4 1 2\n5 3 4 2 1\n5 4 1 2 3\n5 4 1 3 2\n5 4 2 1 3\n5 4 2 3 1\n5 4 3 1 2\n5 4 3 2 1\n";
            break;
        case 6:
            cout<<"1 2 3 4 5 6\n1 2 3 4 6 5\n1 2 3 5 4 6\n1 2 3 5 6 4\n1 2 3 6 4 5\n1 2 3 6 5 4\n1 2 4 3 5 6\n1 2 4 3 6 5\n1 2 4 5 3 6\n1 2 4 5 6 3\n1 2 4 6 3 5\n1 2 4 6 5 3\n1 2 5 3 4 6\n1 2 5 3 6 4\n1 2 5 4 3 6\n1 2 5 4 6 3\n1 2 5 6 3 4\n1 2 5 6 4 3\n1 2 6 3 4 5\n1 2 6 3 5 4\n1 2 6 4 3 5\n1 2 6 4 5 3\n1 2 6 5 3 4\n1 2 6 5 4 3\n1 3 2 4 5 6\n1 3 2 4 6 5\n1 3 2 5 4 6\n1 3 2 5 6 4\n1 3 2 6 4 5\n1 3 2 6 5 4\n1 3 4 2 5 6\n1 3 4 2 6 5\n1 3 4 5 2 6\n1 3 4 5 6 2\n1 3 4 6 2 5\n1 3 4 6 5 2\n1 3 5 2 4 6\n1 3 5 2 6 4\n1 3 5 4 2 6\n1 3 5 4 6 2\n1 3 5 6 2 4\n1 3 5 6 4 2\n1 3 6 2 4 5\n1 3 6 2 5 4\n1 3 6 4 2 5\n1 3 6 4 5 2\n1 3 6 5 2 4\n1 3 6 5 4 2\n1 4 2 3 5 6\n1 4 2 3 6 5\n1 4 2 5 3 6\n1 4 2 5 6 3\n1 4 2 6 3 5\n1 4 2 6 5 3\n1 4 3 2 5 6\n1 4 3 2 6 5\n1 4 3 5 2 6\n1 4 3 5 6 2\n1 4 3 6 2 5\n1 4 3 6 5 2\n1 4 5 2 3 6\n1 4 5 2 6 3\n1 4 5 3 2 6\n1 4 5 3 6 2\n1 4 5 6 2 3\n1 4 5 6 3 2\n1 4 6 2 3 5\n1 4 6 2 5 3\n1 4 6 3 2 5\n1 4 6 3 5 2\n1 4 6 5 2 3\n1 4 6 5 3 2\n1 5 2 3 4 6\n1 5 2 3 6 4\n1 5 2 4 3 6\n1 5 2 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