题目描述

给定一张 n 个点的带权无向图，点从 0~n-1 标号，求起点 0 到终点 n-1 的最短Hamilton路径。 Hamilton路径的定义是从 0 到 n-1 不重不漏地经过每个点恰好一次。

输入格式
第一行输入整数n。

接下来n行每行n个整数，其中第i行第j个整数表示点i到j的距离（记为a[i,j]）。

对于任意的x,y,z，数据保证 a[x,x]=0，a[x,y]=a[y,x] 并且 a[x,y]+a[y,z]>=a[x,z]。

输出格式
输出一个整数，表示最短Hamilton路径的长度。

数据范围
1≤n≤20
0≤a[i,j]≤107

样例

输入样例：
5
0 2 4 5 1
2 0 6 5 3
4 6 0 8 3
5 5 8 0 5
1 3 3 5 0
输出样例：
18

算法1

(状态压缩dp) $O((1 << 20) * 20)$

f[state][j] state表示状态，用二进制表示那个点被用过，如果是1，代表用过个这个点，j表示最终停到这个点
f[state][j] 和 f[state_k][k] + w[k][j] 取最小值，state_k表示state去掉j之后的状态，state_k包括k

时间复杂度

状态数量 * 转移次数 = (1 << 20) * 20

C++ 代码

#include <iostream>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 20, M = 1 << 20; // N 表示点 M表示状态

int w[N][N];
int f[M][N]; 

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i++)
        for (int j = 0; j < n; j++)
            cin >> w[i][j];

    memset(f, 0x3f, sizeof f);
    // 0点，状态是1，最终停在点0，距离是0
    f[1][0] = 0;
    for (int i = 0; i < 1 << n; i++) // 枚举所有种状态
        for (int j = 0; j < n; j++) // 枚举所有终点
            if (i >> j & 1) // 如果用过j点
                for (int k = 0; k < n; k++) // 枚举所有k点
                    if (i - (1 >> j) >> k & 1) // 去掉j后的状态包含k
                        f[i][j] = min(f[i][j], f[i - (1 << j)][k] + w[k][j]); // 取它俩最小值

    // (1 << n - 1) 表示二进制n位全是1，终点为n - 1
    cout << f[(1 << n) - 1][n - 1] << endl;
    return 0;
}