题目描述（混合背包问题）

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。

物品一共有三类：

第一类物品只能用1次（01背包）；
第二类物品可以用无限次（完全背包）；
第三类物品最多只能用 si 次（多重背包）；
每种体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。

输入格式
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N 行，每行三个整数 vi,wi,si，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积、价值和数量。

si=−1 表示第 i 种物品只能用1次；
si=0 表示第 i 种物品可以用无限次；
si>0 表示第 i 种物品可以使用 si 次；
输出格式
输出一个整数，表示最大价值。

数据范围
0<N,V≤1000
0<vi,wi≤1000
−1≤si≤1000

样例

4 5
1 2 -1
2 4 1
3 4 0
4 5 2

8

算法:(分情况讨论)

根据s[i]的值决定是那种背包问题

时间复杂度 O(NVS)

Java 代码

import java.util.*;
public class Main {
    public static int backPack7(int N, int V, int[] v, int[] w, int[] s) {
        int[] dp = new int[V + 1];
        for (int i = 0; i < N; i++) {
            if (s[i] == 0) {
                for (int j = v[i]; j <= V; j++) {
                    dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - v[i]] + w[i]);
                }
            } else if (s[i] == -1) {
                for (int j = V; j >= v[i]; j--) {
                    dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - v[i]] + w[i]);
                }
            } else {
                for (int j = V; j >= 0; j--) {
                    for (int k = 0; k <= s[i] && k * v[i] <= j; k++) {
                        dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - k * v[i]] + k * w[i]);
                    }
                }
            }
        }
        return dp[V];
    }

    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int N = sc.nextInt();
        int V = sc.nextInt();
        int[] v = new int[N];
        int[] w = new int[N];
        int[] s = new int[N];
        for (int i = 0; i < N; i++) {
            v[i] = sc.nextInt();
            w[i] = sc.nextInt();
            s[i] = sc.nextInt();
        }
        System.out.println(backPack7(N, V, v, w, s));
    }
}

题目描述(二维费用背包)

有 N 件物品和一个容量是 V 的背包，背包能承受的最大重量是 M。

每件物品只能用一次。体积是 vi，重量是 mi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使物品总体积不超过背包容量，总重量不超过背包可承受的最大重量，且价值总和最大。
输出最大价值。

输入格式
第一行两个整数，N，V,M，用空格隔开，分别表示物品件数、背包容积和背包可承受的最大重量。

接下来有 N 行，每行三个整数 vi,mi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积、重量和价值。

输出格式
输出一个整数，表示最大价值。

数据范围
0<N≤1000
0<V,M≤100
0<vi,mi≤100
0<wi≤1000

样例

4 5 6
1 2 3
2 4 4
3 4 5
4 5 6

8

算法:(暴力枚举)

时间复杂度 O(NVM)

Java 代码

import java.util.*;
public class Main {
    public static int backPack8(int N, int V, int M, int[] v, int[] m, int[] w) {
        int[][] dp = new int[V + 1][M + 1];
        for (int i = 0; i < N; i++) {
            for (int j = V; j >= v[i]; j--) {
                for (int k = M; k >= m[i]; k--) {
                    dp[j][k] = Math.max(dp[j][k], dp[j - v[i]][k - m[i]] + w[i]);
                }
            }
        }
        return dp[V][M];
    }

    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int N = sc.nextInt();
        int V = sc.nextInt();
        int M = sc.nextInt();
        int[] v = new int[N];
        int[] m = new int[N];
        int[] w = new int[N];
        for (int i = 0; i < N; i++) {
            v[i] = sc.nextInt();
            m[i] = sc.nextInt();
            w[i] = sc.nextInt();
        }
        System.out.println(backPack8(N, V, M, v, m, w));
    }
}

题目描述(分组背包)

有 N 组物品和一个容量是 V 的背包。

每组物品有若干个，同一组内的物品最多只能选一个。
每件物品的体积是 vij，价值是 wij，其中 i 是组号，j 是组内编号。

求解将哪些物品装入背包，可使物品总体积不超过背包容量，且总价值最大。

输出最大价值。

输入格式
第一行有两个整数 N，V，用空格隔开，分别表示物品组数和背包容量。

接下来有 N 组数据：

每组数据第一行有一个整数 Si，表示第 i 个物品组的物品数量；
每组数据接下来有 Si 行，每行有两个整数 vij,wij，用空格隔开，分别表示第 i 个物品组的第 j 个物品的体积和价值；
输出格式
输出一个整数，表示最大价值。

数据范围
0<N,V≤100
0<Si≤100
0<vij,wij≤100

样例

3 5
2
1 2
2 4
1
3 4
1
4 5

8

算法:(暴力枚举)

时间复杂度 O(NV)

Java 代码

import java.util.*;
public class Main {
    public static int backPack9(int N, int V, int[][] v, int[][] w) {
        int[] dp = new int[V + 1];
        for (int i = 0; i < N; i++) {
            int len = v[i].length;
            for (int j = V; j >= 0; j--) {
                for (int k = 0; k < len; k++) {
                    if (j >= v[i][k]) dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - v[i][k]] + w[i][k]);
                }
            }
        }
        return dp[V];
    }

    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int N = sc.nextInt();
        int V = sc.nextInt();
        int[][] v = new int[N][];
        int[][] w = new int[N][];
        for (int i = 0; i < N; i++) {
            int s = sc.nextInt();
            v[i] = new int[s];
            w[i] = new int[s];
            for (int j = 0; j < s; j++) {
                v[i][j] = sc.nextInt();
                w[i][j] = sc.nextInt();
            }
        }
        System.out.println(backPack9(N, V, v, w));
    }
}