题目描述

0-1背包

有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。

第 i 件物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积和价值。

输出格式
输出一个整数，表示最大价值。

数据范围
0<N,V≤1000
0<vi,wi≤1000

样例

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

8

时间复杂度

O(NV)

Java 代码

import java.util.*;
public class Main {
    public static int backPack1(int N, int V, int[] v, int[] w) {
        int[] dp = new int[V + 1];
        for (int i = 0; i < N; i++) {
            for (int j = V; j >= v[i]; j--) {
                dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - v[i]] + w[i]);
            }
        }
        return dp[V];
    }

    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int N = sc.nextInt();
        int V = sc.nextInt();
        int[] v = new int[N];
        int[] w = new int[N];
        for (int i = 0; i < N; i++) {
            v[i] = sc.nextInt();
            w[i] = sc.nextInt();
        }
        System.out.println(backPack1(N, V, v, w));
    }
}

完全背包

题目描述

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包，每种物品都有无限件可用。

第 i 种物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积和价值。

输出格式
输出一个整数，表示最大价值。

数据范围
0<N,V≤1000
0<vi,wi≤1000

样例

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

10

时间复杂度

O(NV)

Java 代码

import java.util.*;
public class Main {
    public static int backPack2(int N, int V, int[] v, int[] w) {
        int[] dp = new int[V + 1];
        for (int i = 0; i < N; i++) {
            for (int j = v[i]; j <= V; j++) {
                dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - v[i]] + w[i]);
            }
        }
        return dp[V];
    }

    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int N = sc.nextInt();
        int V = sc.nextInt();
        int[] v = new int[N];
        int[] w = new int[N];
        for (int i = 0; i < N; i++) {
            v[i] = sc.nextInt();
            w[i] = sc.nextInt();
        }
        System.out.println(backPack2(N, V, v, w));
    }
}

多重背包

题目描述

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。

第 i 种物品最多有 si 件，每件体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。

输入格式
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N 行，每行三个整数 vi,wi,si，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积、价值和数量。

输出格式
输出一个整数，表示最大价值。

数据范围
0<N,V≤100
0<vi,wi,si≤100

样例

4 5
1 2 3
2 4 1
3 4 3
4 5 2

10

时间复杂度

O(NVS)

Java 代码

import java.util.*;
public class Main {
    public static int backPack3(int N, int V, int[] v, int[] w, int[] s) {
        int[] dp = new int[V + 1];
        for (int i = 0; i < N; i++) {
            // this is wrong, in this case we are acturely doing 0-1 backpack using 0v[i], 1v[i]...s[i]v[i]
            // for (int k = 0; k <= s[i]; k++) {
            //     for (int j = V; j >= k * v[i]; j--) {
            //         dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j -  k * v[i]] + k * w[i]);
            //     }
            // }

            // this is correct, only 1 case for k * v[i]
            for (int j = V; j >= 0; j--) {
                for (int k = 0; k <= s[i] && k * v[i] <= j; k++) {
                    dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - k * v[i]] + k * w[i]);
                }
            }
        }
        return dp[V];
    }

    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int N = sc.nextInt();
        int V = sc.nextInt();
        int[] v = new int[N];
        int[] w = new int[N];
        int[] s = new int[N];
        for (int i = 0; i < N; i++) {
            v[i] = sc.nextInt();
            w[i] = sc.nextInt();
            s[i] = sc.nextInt();
        }
        System.out.println(backPack3(N, V, v, w, s));
    }
}