题目描述

输入描述

一个正整数一般可以分为几个互不相同的自然数的和，如 3=1+2，4=1+3，5＝1+4=2+3，6=1+5＝2+4。

现在你的任务是将指定的正整数 n 分解成若干个互不相同的自然数的和，且使这些自然数的乘积最大。

输出描述

只一个正整数 n，$（3 \leq n \leq 10000）$。

输入样例

10

输出样例

2 3 5
30

算法

(二分 + 贪心 + 数论 + 高精度)

本题要先用简单的数论和贪心找到最优解的组成方法，再用高精度乘法求积。

以2004为例，由于把2004分拆成若干个互不相等的自然数的和的分法只有有限种，因而一定存在一种分法,使得这些自然数的乘积最大。

若1作因数,则显然乘积不会最大。把2004分拆成若干个互不相等的自然数的和,因数个数越多，乘积越大。为了使因数个数尽可能地多，我们把2004分成2+3…+n直到和大于等于2004。

若和比2004大1，则因数个数至少减少1个，为了使乘积最大,应去掉最小的2，并将最后一个数（最大）加上1。

若和比2004大k（k≠1）,则去掉等于k的那个数,便可使乘积最大。//这里用二分查找k值所在位置并删去会更快一些

1.例如15：s=2+3+4+5+6刚好大于15，s-15=5，所以把5去掉。

2.又例如13：s=2+3+4+5刚好大于13，s-13=1,所以去掉2，并把5加1，即3 4 6。

C++ 代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int n;
vector<int> num;

int seek(int x)
{
    int l = 0,r = num.size() - 1;
    while(l < r)
    {
        int mid = (l + r) >> 1;
        if(x <= num[mid]) r = mid;
        else l = mid + 1;
    }
    return l;
}
vector<int> split_merge(int x)
{
    vector<int> S;
    while(x){
        S.push_back(x % 10);
        x /= 10;
    }
    return S;
}
vector<int> mul(vector<int> &A,vector<int> &B)
{
    vector<int> C(A.size() + B.size(), 0);

    for (int i = 0; i < A.size(); i++)
        for (int j = 0; j < B.size(); j++)
            C[i + j] += A[i] * B[j];

    int t = 0;
    for (int i = 0; i < C.size(); i++){
        t += C[i];
        C[i] = t % 10;
        t /= 10;
    }

    while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();
    return C;
}
int main()
{
    cin >> n;
    int sum = 0,i = 2;

    while(1){
        sum += i;
        num.push_back(i ++);
        if(sum >= n){
            if(sum % n == 1) {*num.end() += 1; num.erase(num.begin());}
            else if(sum % n > 1){int p = seek(sum % n); num.erase(num.begin() + p);}
            break;
        }
    }
    for(int i = 0;i < num.size();i ++) cout << num[i] << " ";
    puts("");

    vector<int> C(1,1);
    for(int i = 0;i < num.size();i ++)
    {
        auto A = split_merge(num[i]);auto B = C;
        C = mul(A,B);
    }

    for (int i = C.size() - 1; i >= 0; i--) cout << C[i];
    puts("");
    return 0;
}