题目描述
给定一个由整数数组 A
表示的环形数组 C
,求 C
的非空子数组的最大可能和。
在此处,环形数组意味着数组的末端将会与开头相连呈环状。(形式上,当0 <= i < A.length
时 C[i] = A[i]
,而当 i >= 0
时 C[i+A.length] = C[i]
)
此外,子数组最多只能包含固定缓冲区 A
中的每个元素一次。(形式上,对于子数组 C[i], C[i+1], ..., C[j]
,不存在 i <= k1, k2 <= j
其中 k1 % A.length = k2 % A.length
)
样例1
输入:[1,-2,3,-2]
输出:3
解释:从子数组 [3] 得到最大和 3
样例2
输入:[5,-3,5]
输出:10
解释:从子数组 [5,5] 得到最大和 5 + 5 = 10
样例3
输入:[3,-1,2,-1]
输出:4
解释:从子数组 [2,-1,3] 得到最大和 2 + (-1) + 3 = 4
样例4
输入:[3,-2,2,-3]
输出:3
解释:从子数组 [3] 和 [3,-2,2] 都可以得到最大和 3
样例5
输入:[-2,-3,-1]
输出:-1
解释:从子数组 [-1] 得到最大和 -1
提示
-30000 <= A[i] <= 30000
1 <= A.length <= 30000
算法1
(前缀和+单调队列) $O(n)$
这道题的难点在于如何把问题转化为易处理的形式,直接按题面来理解然后预处理前缀和再暴力枚举答案所有可能的位置是$O(n^2)$的。我们可以把问题转化,依然先处理出前缀和,不过对于环形数组我们可以想象成在原数组后又拼了一份相同的,这样问题就转化成在这个新数组中找到长度不超过n
的最大连续数组和 (maximum subarray) ,这样我们对于每个前缀和,找到它前面n
个前缀和的最小值(若前面不足n
个则为 $min(0, sum[1…i-1])$ ),减去这个最小值就是以该位置结尾长度不超过n
的最大数组和,在这个过程中我们再维护答案即可。动态的维护窗口内的最小值我们可以用一个严格单调递增队列来实现。
C++ 代码
class Solution {
public:
int maxSubarraySumCircular(vector<int>& A) {
int n = A.size();
vector<int> sum(2 * n + 1, 0);
for (int i = 1; i < sum.size(); i ++ )
{
if (i <= n) sum[i] = sum[i - 1] + A[i - 1];
else sum[i] = sum[i - 1] + A[i - 1 - n];
}
deque<int> dq;
dq.push_back(0);
int res = INT_MIN;
for (int i = 1; i < sum.size(); i ++ )
{
if (dq.size() && i - dq.front() > n)
dq.pop_front();
res = max(res, sum[i] - sum[dq.front()]);
while (dq.size() && sum[i] <= sum[dq.back()])
dq.pop_back();
dq.push_back(i);
}
return res;
}
};
算法2
(动态规划) $O(n)$
还有另一种只需要$O(1)$空间的做法,跟LeetCode 53. Maximum Subarray 中的动态规划思想类似,定义dp[i]
为以i
结尾的最大/最小连续数组和,这样 $dp[i] = max/min(dp[i - 1] + A[i], A[i])$ 。
如果数组不是环形的那么答案就是最大子数组和
,如果是环形的那么数组除去答案的那一部分仍然是连续的,这样答案就是max(最大子数组和,sum - 最小子数组和)
,注意这里如果数组全为负数,我们应该返回最大子数组和
而不是0
C++ 代码
class Solution {
public:
int maxSubarraySumCircular(vector<int>& A) {
int curMax = 0, curMin = 0;
int Max = INT_MIN, Min = INT_MAX;
int sum = 0;
for (int i = 0; i < A.size(); i ++ )
{
curMax = max(A[i], curMax + A[i]);
Max = max(Max, curMax);
curMin = min(A[i], curMin + A[i]);
Min = min(Min, curMin);
sum += A[i];
}
return Max > 0 ? max(Max, sum - Min) : Max;
}
};