题目描述

给定一个方形整数数组 A，我们想要得到通过 A 的_下降路径_的最小和。

下降路径可以从第一行中的任何元素开始，并从每一行中选择一个元素。在下一行选择的元素和当前行所选元素最多相隔一列。

样例

输入：[[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]]
输出：12
解释：
可能的下降路径有：
[1,4,7], [1,4,8], [1,5,7], [1,5,8], [1,5,9]
[2,4,7], [2,4,8], [2,5,7], [2,5,8], [2,5,9], [2,6,8], [2,6,9]
[3,5,7], [3,5,8], [3,5,9], [3,6,8], [3,6,9]
和最小的下降路径是 [1,4,7]，所以答案是 12。

注意

• 1 <= A.length == A[0].length <= 100
• -100 <= A[i][j] <= 100。

算法

(动态规划) $O(nm)$

1. $f(i, j)$ 表示到达第 $i$ 行第 $j$ 列的时候的最小值。
2. 转移时有三种方式，分别是从第 $i-1$ 层的第 $j-1$，$j$ 和 $j+1$ 列到达第 $i$ 层，即 $f(i,j) = min(f(i - 1, j - 1), f(i - 1, j), f(i - 1, j + 1)) + a(i, j)$。
3. 初始值 $f(0, j) = A(0, j)$，最终答案为 $\max_{j=0}^{m-1}{f(n-1, j)}$。

时间复杂度

• 状态数为 $nm$ 个，转移数为 3 个，故总时间复杂度为 $O(nm)$。

C++ 代码

class Solution {
public:
    int minFallingPathSum(vector<vector<int>>& A) {
        int n = A.size(), m = A[0].size();
        vector<vector<int>> f(n, vector<int>(m, 100000));

        for (int j = 0; j < m; j++)
            f[0][j] = A[0][j];

        for (int i = 1; i < n; i++)
            for (int j = 0; j < m; j++) {
                f[i][j] = f[i - 1][j] + A[i][j];
                if (j > 0)
                    f[i][j] = min(f[i][j], f[i - 1][j - 1] + A[i][j]);
                if (j < m - 1)
                    f[i][j] = min(f[i][j], f[i - 1][j + 1] + A[i][j]);
            }
        int ans = 100000;
        for (int j = 0; j < m; j++)
            ans = min(ans, f[n - 1][j]);

        return ans;
    }
};