题目描述

给定一个长度为n的整数数列，请你计算数列中的逆序对的数量。

逆序对的定义如下：对于数列的第 i 个和第 j 个元素，如果满足 i < j 且 a[i] > a[j]，则其为一个逆序对；否则不是。

输入格式
第一行包含整数n，表示数列的长度。

第二行包含 n 个整数，表示整个数列。

输出格式
输出一个整数，表示逆序对的个数。

数据范围
1≤n≤100000

样例

输入样例

6
2 3 4 5 6 1

输出样例

5

算法(分治)

$O(nlog(n))$

求解逆序对的问题，可以用归并排序的思想解决。

假设归并排序可以求解出[l, r]一段区间内的逆序对。
那么针对[l, mid]/[mid+1, r]可以分别求出左右两段区间内的逆序对。
缺少的是位于左右区间内的数据构成逆序对。
发现左右区间都是有序的，所以只需要分别计算出和右区间每一个元素构成逆序对的数量，然后相加即可。
计算和右区间每一元素构成逆序对的元素方式是：当右区间 Right 中的数加入 tmp 数组的同时,都要统计 mid-i+1 , 因为此时左区间 Left 中剩余的所有数, 都会和它构成逆序对.

C++ 代码

#include<iostream>

using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;

int q[N];
int tmp[N];

long long merge_sort(int q[], int l, int r)
{
    if(l >= r) return 0;

    int mid = (l + r) >> 1;
    long long ans = merge_sort(q, l, mid) + merge_sort(q, mid + 1, r);

    int i = l, j = mid + 1;
    int k = 0;
    while(i <= mid && j <= r)
    {
        if(q[i] <= q[j]) tmp[k++] = q[i++];
        else {
            tmp[k++] = q[j++];
            ans += (mid - i + 1);
        }
    }

    // 扫尾
    while(i <= mid) tmp[k++] = q[i++];
    while(j <= r) tmp[k++] = q[j++];

    for(int i = l, j = 0; i <= r; )
    {
        q[i++] = tmp[j++];
    }

    return ans;
}

int main()
{
    int n;
    cin >> n;

    for(int i = 0; i < n; i++) cin >> q[i];

    cout << merge_sort(q, 0, n - 1);

    return 0;
}