题目描述

帮派里有 G 名成员，他们可能犯下各种各样的罪行。

第 i 种犯罪会产生 profit[i] 的利润，它要求 group[i] 名成员共同参与。

让我们把这些犯罪的任何子集称为盈利计划，该计划至少产生 P 的利润。

有多少种方案可以选择？因为答案很大，所以返回它模 10^9 + 7 的值。

样例

输入：G = 5, P = 3, group = [2,2], profit = [2,3]
输出：2
解释： 
至少产生 3 的利润，该帮派可以犯下罪 0 和罪 1，或仅犯下罪 1。
总的来说，有两种方案。

输入：G = 10, P = 5, group = [2,3,5], profit = [6,7,8]
输出：7
解释：
至少产生 5 的利润，只要他们犯其中一种罪就行，所以该帮派可以犯下任何罪行。
有 7 种可能的计划：(0)，(1)，(2)，(0,1)，(0,2)，(1,2)，以及 (0,1,2)。

注意

• 1 <= G <= 100
• 0 <= P <= 100
• 1 <= group[i] <= 100
• 0 <= profit[i] <= 100
• 1 <= group.length = profit.length <= 100

算法

(动态规划) $O(nGP)$

1. 题目要求是统计利润至少为 P，且人数最多为 G 的方案数。由于利润最多有可能达到 100 * n，数据范围过大而不方便进行动态规划，可以考虑该问题的对偶问题。即统计人数最多为 G 的方案数，减去利润小于 P，且统计人数最多为 G 的方案数。
2. 对于第一部分，动态规划的状态为 $s(i,j)$，表示考虑了前 $i$ 个计划，参与人数为 $j$ 的方案数是多少。对于第 $i$ 个计划，$s(i,j) = s(i,j) + s(i-1, j - group[i])$。初始值 $s(0, 0)=1$。人数最多为 G 的方案数为 $\sum_{j=0}^{G}{s(n, j)}$。实际上可以省略掉第一维。
3. 对于第二部分，动态规划的状态为 $f(i,j,k)$，表示考虑了前 $i$ 个计划，参与人数为 $j$ 的方案数，且利润为 $k$ 的方案数是多少。对于第 $i$ 个计划，$f(i,j,k) = f(i,j,k) + f(i-1, j - group[i], k - profit[i])$。初始值 $f(0, 0, 0)=1$。利润小于 P，且统计人数最多为 G 的方案数为 $\sum_{j=k=0}^{j<=G, k<P}{f(n, j, k)}$。实际上可以仍然省略掉第一维。
4. 最终答案就是两部分做差。

时间复杂度

• 第一部分的时间复杂度显然不如第二部分高。第二部分的状态个数为 $O(nGP)$，每次转移仅需常数时间，故总时间复杂度为 $O(nGP)$。

C++ 代码

class Solution {
public:
    int profitableSchemes(int G, int P, vector<int>& group, vector<int>& profit) {
        const int mod = 1000000007;
        int n = group.size(), ans = 0;
        vector<int> s(G + 1, 0);
        vector<vector<int>> f(G + 1, vector<int>(P, 0));

        s[0] = 1;
        for (int i = 0; i < n; i++)
            for (int j = G; j >= group[i]; j--)
                s[j] = (s[j] + s[j - group[i]]) % mod;

        f[0][0] = 1;
        for (int i = 0; i < n; i++)
            for (int j = G; j >= group[i]; j--)
                for (int k = P - 1; k >= profit[i]; k--)
                    f[j][k] = (f[j][k] + f[j - group[i]][k - profit[i]]) % mod;

        for (int j = 0; j <= G; j++)
            ans = (ans + s[j]) % mod;

        for (int j = 0; j <= G; j++)
            for (int k = 0; k < P; k++)
                ans = (ans - f[j][k]) % mod;

        return (ans + mod) % mod;
    }
};