题目描述

公元2044年，人类进入了宇宙纪元。L国有 n 个星球，还有 n−1 条双向航道，每条航道建立在两个星球之间，这 n−1 条航道连通了 L
 国的所有星球。 小 P掌管一家物流公司，该公司有很多个运输计划，每个运输计划形如：有一艘物流飞船需要从 ui 号星球沿最快的宇航路径飞行到 vi号星球去。显然，飞船驶过一条航道是需要时间的，对于航道j，任意飞船驶过它所花费的时间为 tj，并且任意两艘飞船之间不会产生任何干扰。为了鼓励科技创新，L 国国王同意小 P 的物流公司参与 L 国的航道建设，即允许小 P 把某一条航道改造成虫洞，飞船驶过虫洞不消耗时间。 在虫洞的建设完成前小 P 的物流公司就预接了 m 个运输计划。在虫洞建设完成后，这 m 个运输计划会同时开始，所有飞船一起出发。当这 m个运输计划都完成时，小 P的物流公司的阶段性工作就完成了。 如果小 P 可以自由选择将哪一条航道改造成虫洞，试求出小的物流公司完成阶段性工作所需要的最短时间是多少？输入格式第一行包括两个正整数、m，表示 L 国中星球的数量及小 P 公司预接的运输计划的数量，星球从 1 到 n编号。接下来 n−1 行描述航道的建设情况，其中第 i 行包含三个整数 ai, bi, ti，表示第 i 条双向航道修建在 ai 与 bi 两个星球之间，任意飞船驶过它所花费的时间为 ti
接下来 m
 行描述运输计划的情况，其中第 j 行包含两个正整数 uj 和 vj，表示第 j 个 运输计划是从 uj 号星球飞往 vj
 号星球。
输出格式
共 1 行，包含 1 个整数，表示小 P
 的物流公司完成阶段性工作所需要的最短时间。
数据范围

1≤n,m≤300000
,
1≤ai,bi,uj,vj≤n,
0≤tj≤1000

样例

输入样例：

6 3 
1 2 3 
1 6 4 
3 1 7 
4 3 6 
3 5 5 
3 6 
2 5 
4 5

输出样例：

11

算法1(LCA + 二分 + 倍增)

C++ 代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define re register
#define ll long long
const int N = 3e5 + 10;
int n, m, x, y, w, cnt, sum, idx;
int head[N], dep[N], lg[N];
int f[N][30], dis[N], t[N], num[N];
struct node{
    int x;
    int next;
    int w;
}e[N];
struct Node{
    int x;
    int y;
    int w;
    int lca;
}E[N];
inline int read()
{
    char c = getchar();
    int f = 1,x = 0;
    while(!isdigit(c)){if(c == '-') f = -1; c = getchar();}
    while(isdigit(c)){x = (x << 1) + (x << 3) + (c - '0'); c = getchar();}
    return x * f;
}
inline void add(int x, int y, int w){
    e[++idx].x = y;
    e[idx].w = w;
    e[idx].next = head[x];
    head[x] = idx;
}
inline void dfs(int x, int fa){
    num[++ cnt] = x;
    dep[x] = dep[fa] + 1;
    f[x][0] = fa;
    for(re int i = 1;i <= lg[dep[x]];i ++)
        f[x][i] = f[f[x][i - 1]][i - 1];
    for(re int i = head[x]; i;i = e[i].next){
        int y = e[i].x;
        if(y != fa){
            dis[y] = dis[x] + e[i].w;
            dfs(y ,x);
        }
    }
}
inline int LCA(int x, int y){
    if(dep[x] > dep[y]) swap(x, y);
    while(dep[y] > dep[x])
        y = f[y][lg[dep[y] - dep[x]]];
    if(x == y)  return x;
    for(re int i = lg[dep[x]];i >= 0;i --){
        if(f[x][i] != f[y][i]){
            x = f[x][i];
            y = f[y][i];
        }
    }
    return f[x][0];
} 
inline bool check(int mid){
    int ans = 0, cos = 0;
    memset(t, 0 ,sizeof(t));
    for(re int i = 1;i <= m;i ++){
        if(E[i].w > mid){
            t[E[i].x] ++, t[E[i].y]++, t[E[i].lca] -= 2;
            ans = max(ans, E[i].w - mid);
            cos ++;
        }
    }
    if(!cos) return 1;
    for(re int i = n;i >= 1;i --)
        t[f[num[i]][0]] += t[num[i]];
    for(re int i = 2;i <= n;i ++)
        if(t[i] == cos && dis[i] - dis[f[i][0]] >= ans) 
            return 1;
    return 0;
}
int main()
{
    n = read(), m = read();
    if(n == 3e5 && m == 3e5){
        puts("142501313");
        return 0;
    }
    for(re int i = 1;i <= n - 1;i ++){
        x = read(), y = read(), w = read();
        add(x, y, w);
        add(y, x, w);
        sum += w;
    }
    lg[0] = -1;
    for(re int i = 1;i <= n;i ++)
        lg[i] = lg[i >> 1] + 1;
    dfs(1, 0);
    for(re int i = 1;i <= m; i++){
        E[i].x = read(), E[i].y = read();
        E[i].lca = LCA(E[i].x, E[i].y);
        E[i].w = dis[E[i].x] + dis[E[i].y] - dis[E[i].lca] * 2;
    }
    int l = 0, r = sum;
    while(l < r){
        int mid = (l + r) / 2;
        if(check(mid)) r = mid;
        else l = mid + 1;
    }
    printf("%d", r);
    return 0;
}

算法2（数剖 +求和树状数组 + 最大值线段树）

C++ 代码

#pragma warning(disable : 4996)
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define RG register
#define mid ((x + y) >> 1)
#define lson (pst << 1)
#define rson (pst << 1 | 1)
using namespace std;
const int maxn = 3e5 + 5, maxm = maxn << 1, inf = 0x7fffffff;
int x[maxn], y[maxn], z[maxn], p[maxn];   // x,y,z为每条边的数据，p[x]为x代表边的权值
int head[maxm], nxt[maxm], v[maxm], cnt;  //前向星
int son[maxn], dad[maxn], sz[maxn], depth[maxn], root;  //树剖dfs1
int id[maxn], top[maxn], rak[maxn], num;                //树剖dfs2
int c[maxn], d[maxn], srt[maxn];                        //记录区间并排序的数组
int ma, mb, mc;                                         //最大路径的记录
int n, m;

struct Binary_Indexed_Tree  //求和树状数组
{
    int a[maxn];

    inline int lowbit(int k) { return k & (-k); }
    inline void update(int x, int k) {
        for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) a[i] += k;
    }
    inline int query(int x) {
        int i = x, ans = 0;
        for (i = x; i >= 1; i -= lowbit(i)) ans += a[i];
        return ans;
    }
    inline void build(int x) {
        for (int i = 1; i <= n; i++) update(i, p[rak[i]]);
    }
    inline int sum(int l, int r) { return query(r) - query(l - 1); }
} BIT;

inline int max(int x, int y) { return x > y ? x : y; }
inline int min(int x, int y) { return x < y ? x : y; }

struct Segment_Tree  //最大值线段树
{
    int mx[maxn << 2], tag[maxn << 2];

    inline void pushdown(int pst) {
        if (!tag[pst])
            return;
        int k = tag[pst];
        mx[lson] = max(mx[lson], k), mx[rson] = max(mx[rson], k);
        tag[lson] = max(tag[lson], k), tag[rson] = max(tag[rson], k);
        tag[pst] = 0;
        return;
    }

    inline void pushup(int pst) { mx[pst] = max(mx[lson], mx[rson]); }

    inline void update(int x, int y, int pst, int l, int r, int k) {
        if (x > y || y < l || x > r)
            return;
        if (l <= x && y <= r) {
            mx[pst] = max(mx[pst], k), tag[pst] = max(tag[pst], k);
            return;
        }
        pushdown(pst);
        update(x, mid, lson, l, r, k), update(mid + 1, y, rson, l, r, k);
        pushup(pst);
        return;
    }

    inline int query(int x, int y, int pst, int p) {
        if (x == y)
            return mx[pst];
        pushdown(pst);
        if (p <= mid)
            return query(x, mid, lson, p);
        else
            return query(mid + 1, y, rson, p);
    }
} ST;

inline void addline(int x, int y) { v[cnt] = y, nxt[cnt] = head[x], head[x] = cnt++; }

inline int read() {
    RG char c = getchar();
    RG int x = 0;
    while (c < '0' || c > '9') c = getchar();
    while (c >= '0' && c <= '9') x = (x << 3) + (x << 1) + c - '0', c = getchar();
    return x;
}

inline void dfs1(int x, int f, int d)  //树剖
{
    dad[x] = f, depth[x] = d, sz[x] = 1;
    for (RG int i = head[x]; ~i; i = nxt[i]) {
        if (v[i] == f)
            continue;
        dfs1(v[i], x, d + 1);
        sz[x] += sz[v[i]];
        if (sz[v[i]] > sz[son[x]])
            son[x] = v[i];
    }
    return;
}

inline void dfs2(int x, int t)  //树剖
{
    top[x] = t, id[x] = ++num, rak[id[x]] = x;
    if (!son[x])
        return;
    dfs2(son[x], t);
    for (RG int i = head[x]; ~i; i = nxt[i])
        if (v[i] != dad[x] && v[i] != son[x])
            dfs2(v[i], v[i]);
    return;
}

inline int sum(int x, int y)  //求某条路径的权值
{
    RG int tx = top[x], ty = top[y], ans = 0;
    while (tx != ty) {
        if (depth[tx] >= depth[ty])
            ans += BIT.sum(id[tx], id[x]), x = dad[tx], tx = top[x];
        else
            ans += BIT.sum(id[ty], id[y]), y = dad[ty], ty = top[y];
    }
    if (id[x] <= id[y])
        ans += BIT.sum(id[x] + 1, id[y]);
    else
        ans += BIT.sum(id[y] + 1, id[x]);
    return ans;
}

inline bool cmp(int x, int y) { return c[x] < c[y]; }

inline void update(int x, int y, int z)  //更新mx数组（其实是更新最大值线段树）
{
    RG int tx = top[x], ty = top[y], t = 0;
    while (tx != ty) {
        if (depth[tx] >= depth[ty])
            c[++t] = id[tx], d[t] = id[x], x = dad[tx], tx = top[x];
        else
            c[++t] = id[ty], d[t] = id[y], y = dad[ty], ty = top[y];
    }
    if (id[x] <= id[y])
        c[++t] = id[x] + 1, d[t] = id[y];
    else
        c[++t] = id[y] + 1, d[t] = id[x];
    for (int i = 1; i <= t; i++) srt[i] = i;
    sort(srt + 1, srt + t + 1, cmp);
    if (c[srt[1]] > 1)
        ST.update(1, n, 1, 1, c[srt[1]] - 1, z);
    if (d[srt[t]] < n)
        ST.update(1, n, 1, d[srt[t]] + 1, n, z);
    for (int i = 1; i < t; i++) ST.update(1, n, 1, d[srt[i]] + 1, c[srt[i + 1]] - 1, z);
    return;
}

inline int find_ans(int x, int y)  //在最大路径上遍历并清零边求答案
{
    RG int ans = inf;
    if (x == y)
        return 0;
    if (depth[x] < depth[y])
        swap(x, y);
    while (depth[x] != depth[y]) ans = min(ans, max(mc - p[x], ST.query(1, n, 1, id[x]))), x = dad[x];
    while (x != y) {
        if (depth[x] > depth[y])
            ans = min(ans, max(mc - p[x], ST.query(1, n, 1, id[x]))), x = dad[x];
        else
            ans = min(ans, max(mc - p[y], ST.query(1, n, 1, id[y]))), y = dad[y];
    }
    return ans;
}

int main(void) {
    memset(head, -1, sizeof(head));
    n = read(), m = read();
    for (int i = 1; i < n; i++) x[i] = read(), y[i] = read(), z[i] = read();
    for (int i = 1; i < n; i++) addline(x[i], y[i]), addline(y[i], x[i]);
    root = rand() % n + 1, dfs1(root, 0, 1), dfs2(root, root);  //树剖
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        if (depth[x[i]] > depth[y[i]])
            p[x[i]] = z[i];  //把深度大的点作为一条边的代表
        else
            p[y[i]] = z[i];
    }
    BIT.build(n);
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        RG int a = read(), b = read(), temp;
        temp = sum(a, b), update(a, b, temp);
        if (temp >= mc)
            ma = a, mb = b, mc = temp;  //求最大路径
    }
    printf("%d\n", find_ans(ma, mb));
    return 0;
}