题目描述：多重背包问题II

有 N种物品和一个容量是 V 的背用。

i 种物品最多有 si 件，每件体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数 vi, wi，si 用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积和价值和数量。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<N≤1000
0<V≤2000
0<vi,wi,si≤2000

输入样例

4 5
1 2 3
2 4 1
3 4 3
4 5 2

输出样例

10

基本思考框架

思路和多重背包问题I一样，但这题的数据范围变成1000了，非优化写法时间复杂度O(n^3) 接近 1e9

必超时。

优化多重背包的优化

首先，我们不能用完全背包的优化思路来优化这个问题，因为每组的物品的个数都不一样，是不能像之前一样推导不优化递推关系的。（详情看下面引用的博文）

引用我之前写的博客：动态规划-完全背包问题

我们列举一下更新次序的内部关系：

f[i , j ] = max( f[i-1,j] , f[i-1,j-v]+w , f[i-1,j-2v]+2w , f[i-1,j-3v]+3w , .....)
f[i , j-v]= max( f[i-1,j-v] , f[i-1,j-2v] + w , f[i-1,j-2v]+2*w , .....)
由上两式，可得出如下递推关系：
f[i][j]=max(f[i,j-v]+w , f[i-1][j])

接下来，我介绍一个二进制优化的方法，假设有一组商品，一共有11个。我们知道，十进制数字 11 可以这样表示
$$ 11 = 1011(B) = 0111(B) + (11-0111(B)) = 0111(B) + 0100(B) $$
正常背包的思路下，我们要求出含这组商品的最优解，我们要枚举12次（枚举装0，1，2....12个）。

现在，如果我们把这11个商品分别打包成含商品个数为1个，2个，4个，4个（分别对应0001,0010,0100,0100）的四个”新的商品 “, 将问题转化为01背包问题，对于每个商品，我们都只枚举一次，那么我们只需要枚举四次 ，就可以找出这含组商品的最优解。 这样就大大减少了枚举次数。

这种优化对于大数尤其明显，例如有1024个商品，在正常情况下要枚举1025次 ， 二进制思想下转化成01背包只需要枚举10次。

优化的合理性的证明

先讲结论：上面的1，2，4，4是可以通过组合来表示出0~11中任何一个数的，还是拿11证明一下（举例一下）：

首先，11可以这样分成两个二进制数的组合：
$$ 11 = 0111(B) + (11 - 0111(B)) =0111(B) + 0100(B) $$
其中0111通过枚举这三个1的取或不取（也就是对0001(B)，0010(B)，0100(B)的组合），可以表示十进制数0~7( 刚好对应了 1，2，4 可以组合出 0~7 ) , 0~7的枚举再组合上0100(B)( 即 十进制的 4 ) ，可以表示十进制数 0~11。其它情况也可以这样证明。这也是为什么，这个完全背包问题可以等效转化为01背包问题，有木有觉得很奇妙

怎么合理划分一个十进制数?

上面我把11划分为

$$ 11 = 0111(B) + (11 - 0111(B)) =0111(B) + 0100(B) $$

是因为 0111(B)刚好是小于11的最大的尾部全为1的二进制 ( 按照上面的证明，这样的划分没毛病 ) , 然后那个尾部全为1的数又可以 分解为 0000....1 , 0000....10 , 0000....100 等等。

对应c++代码：

//设有s个商品，也就是将s划分
for(int k = 1 ; k <= s ;k*=2)
{
    s-=k;
    goods.push_back({v*k,w*k});
}
if(s>0) 
    goods.push_back({v*s,w*s});

终究AC代码：01优化+二进制优化

ac代码

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;
const int N = 2010;
int f[N],n,m;
struct good
{
    int w,v;
};

int main()
{
    cin>>n>>m;
    vector<good> Good;
    good tmp;

    //二进制处理
    for(int i = 1 ; i <= n ; i++ )
    {
        int v,w,s;
        cin>>v>>w>>s;
        //坑,k <= s
        for(int k = 1 ; k <= s ; k*=2 )
        {
            s-=k;
            Good.push_back({k*w,k*v});
        }
        if(s>0) Good.push_back({s*w,s*v});
    }

    //01背包优化+二进制
    for(auto t : Good)
        for(int j = m ; j >= t.v ; j--)
            f[j] = max(f[j] , f[j-t.v]+t.w ); //这里就是f[j]


    cout<<f[m]<<endl;
    return 0;

}