题目描述

给定一个未排序的整数数组，找到最长递增子序列的个数。

样例

输入: [1,3,5,4,7]
输出: 2
解释: 有两个最长递增子序列，分别是 [1, 3, 4, 7] 和 [1, 3, 5, 7]。

输入: [2,2,2,2,2]
输出: 5
解释: 最长递增子序列的长度是 1，并且存在 5 个子序列的长度为 1，因此输出 5。

注意

• 给定的数组长度不超过 2000 并且结果一定是 32 位有符号整数。

算法

(动态规划) $O(n^2)$

1. $f(i)$ 表示以 $i$ 为结尾最长上升子序列的长度，$g(i)$ 表示以 $i$ 为结尾最长上升子序列的个数。
2. 转移 $f(i)$ 是经典问题，只需找到 $nums[j] < nums[i], j < i$，若 $f(j) + 1 > f(i)$，则 $f(i) = f(j) + 1$，同时 $g(i) = g(j)$；若 $f(j) + 1 == f(i)$，则 $g(i) = g(i) + g(j)$。
3. 所有 $f(i)$ 和 $g(i)$ 的初始值都是 1；最后累加所有位置 $i$ 的 $g(i)$，满足 $f(i)$ 等于最长长度。

时间复杂度

• 状态数为 $O(n)$，转移数为 $O(n)$，故时间复杂度为 $O(n^2)$。

C++ 代码

class Solution {
public:
    int findNumberOfLIS(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size(), maxl = 1, tot = 0;
        vector<int> f(n, 1), g(n, 1);
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j < i; j++)
                if (nums[j] < nums[i]) {
                    if (f[i] < f[j] + 1) {
                        f[i] = f[j] + 1;
                        g[i] = g[j];
                    }
                    else if (f[i] == f[j] + 1)
                        g[i] += g[j];
                }
            maxl = max(maxl, f[i]);
        }
        for (int i = 0; i < n; i++)
            if (f[i] == maxl)
                tot += g[i];
        return tot;
    }
};