直接从公式开始:
$$S_n = (1+n) \times \sum_{i=1}^n{d_i} + \sum_{i=1}^n{i \times d_i} = (n+1)a_n + \sum_{i=1}^n{i \times d_i}$$

$a_i$是原数组,

$tr1$保存的是$a_i$的差分数组$d_i$,

而$tr2$是$\sum_{i=1}^n{i \times d_i}$这整坨东西的差分, 他跟$tr1$的关系完全是根据$d_i$来构成映射关系

由于$tr2$完全就是公式给出, 那么显然$tr2$差分数组的第$i$项就是$i\times d_i$

其中每次sum(x)获取前缀和得到的结果就是$\sum_{i=1}^x{i \times d_i}$

每次我们要修改$[l, r]$区间上的$a_i$(集体加上$k$), 我们就会令$tr1$上的$d[l]+=k$, $d[r+1]-=k$;

改完$tr1$上的$d_i$然后才经过$d_i$把改变传递给$tr2$, 修改$tr2$上对应的$i$位置上的$i\times d_i$, 也就是$tr2$上第l个项

从$l\times d_l$变成 $l \times (d_l + k)$, 也就是第$l$项加上$k$, 同理跟着把第$r+1$项从$(r+1)\times d_{r+1}$变成

$(r+1)\times (d_{r+1} - k)$, 也就是第$r+1$项 减去$(r+1) \times k$

重点是这2句话:

$tr2$跟$tr1$的关系完全是根据$d_i$来构成映射关系

“然后才经过$d_i$把改变传递给$tr2$”

参考代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
const int N = 100010;
typedef long long LL;


int a[N];
LL tr1[N], tr2[N];

int n, m;

void add(LL tr[], int x, LL c)
{
    for (; x <= n; x += x & -x) tr[x] += c;
}

LL sum(LL tr[], int x) 
{
    LL res = 0;
    for (; x; x -= x & -x) res += tr[x];
    return res;
}

LL get_seg(int x)
{
    return sum(tr1, x) * (x + 1) - sum(tr2, x);
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        scanf("%d", &a[i]);
        add(tr1, i, a[i] - a[i-1]);
        add(tr2, i, (LL)i * (a[i] - a[i-1]));
    }
    while (m -- )
    {
        int l, r, d;
        char op[2];
        scanf("%s", op);
        if (op[0] == 'C')
        {
            scanf("%d%d%d", &l, &r, &d);
            add(tr1, l, d);
            add(tr1, r+1, -d);
            add(tr2, l, d * l);
            add(tr2, r+1, -d * (r+1));
        }
        else
        {
            scanf("%d%d", &l, &r);
            printf("%lld\n", get_seg(r) - get_seg(l - 1));
        }
    }
    return 0;
}