CF1133E_整数分组

题目链接: ACwing 3583. 整数分组

题目描述

给定 n 个整数 $a_1,a_2,…,a_n$。

现在，请你从中挑选一些数，并将选出的数进行分组。

要求：

1. 选出的数最多划分为 kk 组（至少 11 组）。
2. 同一组内，任意两数之差的绝对值不超过 5。
3. 所选出的数尽可能多。

请问，最多可以选出多少个数进行分组？

输入格式

第一行包含两个整数 n 和 k。

第二行包含 n 个整数 $a_1,a_2,…,a_n$。

输出格式

输出一个整数，表示可以选出的最大整数数量。

数据范围

$1 ≤ k \le n≤5000$,
$1 ≤a_i≤10^9$

样例

输入样例1:
5 2
1 2 15 15 15
输出样例1:
5

输入样例2：
6 1
36 4 1 25 9 16
输出样例2：    
2

输入样例3：    
4 4
1 10 100 1000
输出样例3：   
4

算法1 (双指针 + DP)

思路分析

从1 ~ n个数中, 将这些数分组, 最多分为k组, 且k组中任意两数之差的绝对值不超过5，看这个求解我们可以联系之前做过的题目, 可以发现很有DP的味道. 用两维来表示我们的状态, 即在 1 ~ n 个数中选, 最多分为k组的方案中所选数字数量的最大值. 由于这里我们是从这n个数挑出几个数作为一组, 这样不太适合DP从左到右依次做, 因为适合DP的都是一段连续的序列选择, 故我们需要对1 ~ n 排个序(升序)做个预处理, 这样把挑处任意两个数之差绝对值不超过5的这步操作，变成找一段连续区间的操作, 这样就可以用DP的方式来迭代，即我们找的这段区间的右端点和左端点的差的绝对值不超过5.

我们可以来看一下最优解应该满足的一些性质(数组已升序预处理):

1. 若此时有一段区间 [i, j] 其左右端点的值的差绝对值不超过5, 这时我们可以尝试向左,向右扩展, 直到不符合左右端点差值的限制.故这样就证明了最优解里面必然是选择一段区间

2. 最优解中两个区间一定可以不重合.

   

3. 当我们最后选择的一段区间是以i为区间右端点时，此时左端点可以尽可能长, 因为我们要求的选择数字最多的情况, 左端点尽可能长, 说明我们选择的数字的个数就越多, 若有些数字已经被前面的某段的区间选择了, 根据性质2我们可以将其划分为不重合的两个区间.

故最优解一定满足上面3个性质, 满足上面三个性质的最优解，其一定是一段一段的, 这样就可以用Dp来一步一步推导出.

闫氏DP分析法

这里实现的过程还有一个问题就是, 如何快速找到以i下标对应的数值为右端点时, 快速找到这段区间最长时对应的左端点的值, 这里做法挺多的, 由于我们这里已经将序列预处理排序了, 故这里我们可以采用双指针的算法, 当用一个指针pos, 当发现value[i] - value[pos] > 5时, 我们就将pos++, 这样pos就一直是当前以i下标对应数值为右端点时, 区间长度最长情况下的那个左端点了.

C++ 代码

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
constexpr int N = 5010; 
int arr[N];
int f[N][N];


auto main() -> int
{
    ios::sync_with_stdio(false); 
    int n, k; cin >> n >> k; 
    for(int i = 1; i <= n; ++i) cin >> arr[i];
    sort(arr + 1, arr + n + 1);                  // 预处理排序

    for(int i = 1, pos = 1; i <= n; ++i)         // i 的枚举， 其中pos为双指针的变量
    {
        while(arr[i] - arr[pos] > 5) ++pos;      // 当二者差值大于5时, pos++, 保证了pos是区间长度最长情况下的左端点
        for(int j = 1; j <= k; ++j)
            f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[pos - 1][j - 1] + (i - pos + 1)); // 两种情况取MAX
    }

    cout << f[n][k] << endl;  
    return 0;
}

时间复杂度 $O(n^2)$