Acwing 883. 高斯消元解线性方程组

高斯消元 $O(n^3)$

• 通过初等行变换 把 增广矩阵 化为 阶梯型矩阵 并回代 得到方程的解

• 适用于求解 包含$n$ 个方程，$n$ 个未知数的多元线性方程组

例如该方程组
$$ \\left\\{ \\begin{array}{} &a_{11}x_1+&a_{12}x_2+\ldots+&a_{1n}x_n=&b_1 \\\\ &a_{21}x_1+&a_{22}x_2+\ldots+&a_{2n}x_n=&b_2 \\\\ &\vdots &\vdots &\vdots&\vdots \\\\ &a_{n1}x_1+&a_{n2}x_2+\ldots+&a_{nn}x_n=&b_n \\\\ \\end{array} \\right. $$

增广矩阵为
$$ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots &a_{1n} & b_1 \\\\ a_{21} & a_{22} & \cdots &a_{2n} & b_2 \\\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots& \vdots \\\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots &a_{nn} & b_n \\\\ \end{pmatrix} $$

• 接下来的所有操作都用该增广矩阵，代替原方程组

前置知识：初等行（列）变换

1. 把某一行乘一个非$0$的数 (方程的两边同时乘上一个非$0$数不改变方程的解)
2. 交换某两行 (交换两个方程的位置)
3. 把某行的若干倍加到另一行上去 （把一个方程的若干倍加到另一个方程上去）

接下来，运用初等行变换，把增广矩阵，变为阶梯型矩阵

阶梯型矩阵
$$ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots &a_{1n} & b_1 \\\\ &a_{2i}&a_{2(i+1)}&a_{2n} & b_2 \\\\ &&&\vdots& \vdots \\\\ &&&a_{nn} & b_n \\\\ \end{pmatrix} $$
阶梯型矩阵并不一定非要长成这个样子，还可以是好多种其他形式

最后再把阶梯型矩阵从下到上回代到第一层即可得到方程的解

算法步骤

枚举每一列c，

• 找到当前列绝对值最大的一行
• 用初等行变换(2) 把这一行换到最上面（未确定阶梯型的行，并不是第一行）
• 用初等行变换(1) 将该行的第一个数变成 $1$ （其余所有的数字依次跟着变化）
• 用初等行变换(3) 将下面所有行的当且列的值变成 $0$

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>

using namespace std;

const int N = 110;
const double eps = 1e-6;

int n;
double a[N][N];


int gauss()
{
    int c, r;// c 代表 列 col ， r 代表 行 row
    for (c = 0, r = 0; c < n; c ++ )
    {
        int t = r;// 先找到当前这一列，绝对值最大的一个数字所在的行号
        for (int i = r; i < n; i ++ )
            if (fabs(a[i][c]) > fabs(a[t][c]))
                t = i;

        if (fabs(a[t][c]) < eps) continue;// 如果当前这一列的最大数都是 0 ，那么所有数都是 0，就没必要去算了，因为它的约束方程，可能在上面几行

        for (int i = c; i < n + 1; i ++ ) swap(a[t][i], a[r][i]);//// 把当前这一行，换到最上面（不是第一行，是第 r 行）去
        for (int i = n; i >= c; i -- ) a[r][i] /= a[r][c];// 把当前这一行的第一个数，变成 1， 方程两边同时除以 第一个数，必须要到着算，不然第一个数直接变1，系数就被篡改，后面的数字没法算
        for (int i = r + 1; i < n; i ++ )// 把当前列下面的所有数，全部消成 0
            if (fabs(a[i][c]) > eps)// 如果非0 再操作，已经是 0就没必要操作了
                for (int j = n; j >= c; j -- )// 从后往前，当前行的每个数字，都减去对应列 * 行首非0的数字，这样就能保证第一个数字是 a[i][0] -= 1*a[i][0];
                    a[i][j] -= a[r][j] * a[i][c];

        r ++ ;// 这一行的工作做完，换下一行
    }

    if (r < n)// 说明剩下方程的个数是小于 n 的，说明不是唯一解，判断是无解还是无穷多解
    {// 因为已经是阶梯型，所以 r ~ n-1 的值应该都为 0
        for (int i = r; i < n; i ++ )// 
            if (fabs(a[i][n]) > eps)// a[i][n] 代表 b_i ,即 左边=0，右边=b_i,0 != b_i, 所以无解。
                return 2;
        return 1;// 否则， 0 = 0，就是r ~ n-1的方程都是多余方程
    }
    // 唯一解 ↓，从下往上回代，得到方程的解
    for (int i = n - 1; i >= 0; i -- )
        for (int j = i + 1; j < n; j ++ )
            a[i][n] -= a[j][n] * a[i][j];//因为只要得到解，所以只用对 b_i 进行操作，中间的值，可以不用操作，因为不用输出

    return 0;
}

int main()
{
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i ++ )
        for (int j = 0; j < n + 1; j ++ )
            cin >> a[i][j];

    int t = gauss();

    if (t == 0)
    {
        for (int i = 0; i < n; i ++ ) printf("%.2lf\n", a[i][n]);
    }
    else if (t == 1) puts("Infinite group solutions");
    else puts("No solution");

    return 0;
}