题目描述

设有 N×N 的方格图，我们在其中的某些方格中填入正整数，而其它的方格中则放入数字0.

某人从图中的左上角 A 出发，可以向下行走，也可以向右行走，直到到达右下角的 B 点。

在走过的路上，他可以取走方格中的数（取走后的方格中将变为数字0）。

此人从 A 点到 B 点共走了两次，试找出两条这样的路径，使得取得的数字和为最大。

输入格式

样例

输入样例：
8
2 3 13
2 6 6
3 5 7
4 4 14
5 2 21
5 6 4
6 3 15
7 2 14
0 0 0
输出样例：
67

dp

1. f[i1][j1][i2][j2]表示两条路径同时从(1,1),(1,1)出发，到达(i1,j1),(i2,j2)时候的所有路径，由于是同时出发的，所以i1+j1=i2+j2=k
2. 将状态转移方程优化为f[k][i1][i2],则j1=k-i1,j2=k-i2，若i1==i2时候，两条路径重合了，这个点上的数只能选一次
   
   注意：不能用dp两次的方法，由于两次dp没有联系，第一次dp是局部最优解，第二次dp则可能没法把所有的点都踩到

9
1 3 2
1 4 3
2 3 3
3 3 3
5 5 4
6 5 4
7 3 2
7 5 4

朴素版

#include<iostream>
using namespace std;
const int N=15;
int f[N][N][N][N];
int g[N][N];
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    int r,c,x;
    while(cin>>r>>c>>x,r||c||x)g[r][c]+=x;

    for(int i1=1;i1<=n;i1++)
    {
        for(int j1=1;j1<=n;j1++)
        {
            for(int i2=1;i2<=n;i2++)
            {
                for(int j2=1;j2<=n;j2++)
                {
                    int t=g[i1][j1];
                    if(i1!=i2&&j1!=j2)t+=g[i2][j2];
                    int &x=f[i1][j1][i2][j2];
                    x=max(x,f[i1-1][j1][i2-1][j2]+t);
                    x=max(x,f[i1-1][j1][i2][j2-1]+t);
                    x=max(x,f[i1][j1-1][i2-1][j2]+t);
                    x=max(x,f[i1][j1-1][i2][j2-1]+t);
                }
            }
        }
    }
    cout<<f[n][n][n][n]<<endl;
    return 0;
}

空间优化版

#include<iostream>
using namespace std;
const int N=15;
int g[N][N];
int f[N*2][N][N];
int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    int r,c,x;
    while(cin>>r>>c>>x,r||c||x) g[r][c]=x;
    for(int k=2;k<=n+n;k++)
        for(int i1=1;i1<=n;i1++)
            for(int i2=1;i2<=n;i2++)
            {
                int j1=k-i1,j2=k-i2;
                if(j1>=1&&j1<=n&&j2>=1&&j2<=n)
                {
                    int t=g[i1][j1];
                    if(i1!=i2)t+=g[i2][j2];
                    int &x=f[k][i1][i2];
                    x=max(x,f[k-1][i1-1][i2-1]+t);
                    x=max(x,f[k-1][i1-1][i2]+t);
                    x=max(x,f[k-1][i1][i2-1]+t);
                    x=max(x,f[k-1][i1][i2]+t);
                }
            }
    cout<<f[n+n][n][n]<<endl;
    return 0;
}