题目描述

给定一个 n 个点 m 条边的无向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。

求最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。

给定一张边带权的无向图 G=(V,E)，其中 V 表示图中点的集合，E 表示图中边的集合，n=|V|，m=|E|。

由 V 中的全部 n 个顶点和 E 中 n−1 条边构成的无向连通子图被称为 G 的一棵生成树，其中边的权值之和最小的生成树被称为无向图 G 的最小生成树。

输入格式
第一行包含两个整数 n 和 m。

接下来 m 行，每行包含三个整数 u,v,w，表示点 u 和点 v 之间存在一条权值为 w 的边。

输出格式
共一行，若存在最小生成树，则输出一个整数，表示最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。

数据范围
1≤n≤500,
1≤m≤105,
图中涉及边的边权的绝对值均不超过 10000。

样例

输入样例：
4 5
1 2 1
1 3 2
1 4 3
2 3 2
3 4 4
输出样例：
6

Prim算法的思路是：从一个根结点开始，让一棵小树慢慢长大，也就是说，它是一个结点一个结点地增加的。
先在图里面随便选一个结点作为根结点（这个先选的点习惯上是编号为1的结点），然后我们需要找一条边，这条边必须是与这棵数相连且长度最小的边。
如图，第一次寻找后，与根结点相连的长度最小的边是1。

然后以v1,v4为基础，继续向外扩张，寻找与v1,v4构成的树相连的长度最小的边，我们发现有两条最小的边长度都为2，我们任选一条即可，这里选择上面的这条，如图所示

然后以v1,v2,v4为树，寻找下一个与树相连的且长度最小的边，发现有一条长度为2的边是最小的，将其加入树中，如图所示

然后以v1,v2,v3,v4为树，继续寻找下一条与树相连且长度最小的边，此时我们发现有一条长度为3的边，但是我们不能将其收入树中，因为收入该条边后会构成回路，而树的定义是无回路，所以我们找到一条长度为4与树相连且连接后不够成回路的边，如图所示：

而将v7收入树中后，显然与v7相连的最短边为1，收入后不构成回路，所以直接将其收入树中，如下图：

最后收入的顶点是v5，最短边是6，如下图

到此为止，我们已将所有的顶点都收入了，这时就构成了一棵最小生成树。

下面说下代码的写法：

步骤：
1.dist[i] = 0x3f3f3f3f
2.循环迭代n次，每次寻找集合外距离集合最近的点
3.用t更新其他点到集合的距离
4.将t加入集合。

prim算法的时间复杂度是$O(n^2)$，适用于稠密图，所以下面也用邻接矩阵来存。

prim与dijkstra算法的比较：
dijkstra更新的是当前结点到起点的距离dist[j] = min(dist[j], dist[t] + g[t][j]);
prim算法更新的是当前结点到集合的距离dist[j] = min(dist[j], g[t][j]);

C++ 代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 510, INF = 0x3f3f3f3f;

int n,m;
int dist[N]; //存集合与点的距离
int g[N][N]; //用邻接矩阵来存图
bool st[N]; //标记某个点是否在集合中

int prim()
{
    //1.dist[t] = 0x3f3f3f3f
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);

    int res = 0; //res用来存最小生成树的权值
    for(int i = 0; i < n; i ++ )
    {
        //2.每次找一个距离当前集合距离最小的点
        /*这里t = -1是为了方便初始化，因为在一开始我们要先选一个点，这个点其实没什么要求，习惯上我们选编号为1的结点
        下面的if条件中写了如果t == -1就更新t，t也可以写其他负值，如-2,-3等,只需要把下面if中也写成t == 自己设置的负值即可*/
        int t = -1;
        for(int j = 1; j <= n; j ++ )
            if(!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j])) //这里&&后面的要加括号，注意优先级
                t = j;


        /*这里很巧妙，因为i是从0开始的，所以可以直接用if(i)来判断是不是第一个点
        第一个点不用向res中加边，因为它没有边，只有一个孤零零的点，其次，如果某个点不是第一个点且其到集合的距离为无穷
        那就说明图不连通*/
        if(i && dist[t] == INF) return INF; //如果不是第一个点，且到集合的距离为无穷，则说明图不连通，返回INF
        if(i) res += dist[t]; /*此时经过上面if，走到这里一定是连通图，如果不是第一个节点，则将该结点到集合的距离加入到
        最小生成树的权值中去*/

        //3.然后用t更新其他点到集合的距离
        for(int j = 1; j <= n; j ++ ) dist[j] = min(dist[j], g[t][j]);

        //4.将这个结点加入到集合中去
        st[t] = true;

    }
    return res;
}

int main()
{
    memset(g, 0x3f,sizeof g); //初始化邻接矩阵，存的是每个两点之间的距离，先初始化为较大的数
    scanf("%d%d",&n,&m);

    while(m --)
    {
        int a,b,c;
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
        g[a][b] = g[b][a] = min(g[a][b], c); //处理重边
    }

    int t = prim();
    if(t == INF) puts("impossible"); //图不连通，不存在最小生成树
    else printf("%d\n", t);

    return 0;
}