算法
(数的倍数、dp) $O(9k)$
题意:
只能使用非 $0$ 数字表示的正整数 $x$ 中,满足条件的有几项:
- $x$ 为 $9$ 的倍数
- $x$ 在十进制下的各位数字之和为 $k$
$1 \leqslant k \leqslant 1e5$ 且 $k$ 为整数。
结论:$n \mod 9 = n \text{的各位数字之和} \mod 9$
- $k$ 不是 $9$ 的倍数:答案为 $0$
- $k$ 是 $9$ 的倍数:所有的各位数字之和为 $k$ 且 $k$ 是 $9$ 的倍数,答案就是各位数字之和是 $k$ 的正整数的个数
可以采用 dp
来处理:
dp[各个数字之和] = 方案数
转移方程:
$$ dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2] + \cdots + dp[i - 9] $$
C++ 代码
#include <bits/stdc++.h>
using std::cin;
using std::cout;
using std::min;
using std::vector;
using std::istream;
using std::ostream;
using ll = long long;
const int mod = 1e9 + 7;
struct mint {
ll x;
mint(ll x=0):x((x%mod+mod)%mod) {}
mint operator-() const {
return mint(-x);
}
mint& operator+=(const mint a) {
if ((x += a.x) >= mod) x -= mod;
return *this;
}
mint& operator-=(const mint a) {
if ((x += mod-a.x) >= mod) x -= mod;
return *this;
}
mint& operator*=(const mint a) {
(x *= a.x) %= mod;
return *this;
}
mint operator+(const mint a) const {
return mint(*this) += a;
}
mint operator-(const mint a) const {
return mint(*this) -= a;
}
mint operator*(const mint a) const {
return mint(*this) *= a;
}
mint pow(ll t) const {
if (!t) return 1;
mint a = pow(t>>1);
a *= a;
if (t&1) a *= *this;
return a;
}
// for prime mod
mint inv() const {
return pow(mod-2);
}
mint& operator/=(const mint a) {
return *this *= a.inv();
}
mint operator/(const mint a) const {
return mint(*this) /= a;
}
};
istream& operator>>(istream& is, mint& a) {
return is >> a.x;
}
ostream& operator<<(ostream& os, const mint& a) {
return os << a.x;
}
int main() {
int k;
cin >> k;
if (k % 9) puts("0");
else {
vector<mint> dp(k + 1);
dp[0] = 1;
for (int i = 1; i <= k; ++i) {
int b = min(i, 9);
for (int j = 1; j <= b; ++j)
dp[i] += dp[i - j];
}
cout << dp[k] << '\n';
}
return 0;
}