题目描述

A sequence of numbers is called a wiggle sequence if the differences between successive numbers strictly alternate between positive and negative. The first difference (if one exists) may be either positive or negative. A sequence with fewer than two elements is trivially a wiggle sequence.

For example, [1,7,4,9,2,5] is a wiggle sequence because the differences (6,-3,5,-7,3) are alternately positive and negative. In contrast, [1,4,7,2,5] and [1,7,4,5,5] are not wiggle sequences, the first because its first two differences are positive and the second because its last difference is zero.

Given a sequence of integers, return the length of the longest subsequence that is a wiggle sequence. A subsequence is obtained by deleting some number of elements (eventually, also zero) from the original sequence, leaving the remaining elements in their original order.

Example 1:

Input: [1,7,4,9,2,5]
Output: 6
Explanation: The entire sequence is a wiggle sequence.

Example 2:

Input: [1,17,5,10,13,15,10,5,16,8]
Output: 7
Explanation: There are several subsequences that achieve this length. One is [1,17,10,13,10,16,8].

Example 3:

Input: [1,2,3,4,5,6,7,8,9]
Output: 2

题意：如果连续数字之间的差严格地在正数和负数之间交替，则数字序列称为摆动序列。第一个差（如果存在的话）可能是正数或负数。少于两个元素的序列也是摆动序列。

例如， [1,7,4,9,2,5] 是一个摆动序列，因为差值 (6,-3,5,-7,3) 是正负交替出现的。相反, [1,4,7,2,5] 和 [1,7,4,5,5] 不是摆动序列，第一个序列是因为它的前两个差值都是正数，第二个序列是因为它的最后一个差值为零。

给定一个整数序列，返回作为摆动序列的最长子序列的长度。 通过从原始序列中删除一些（也可以不删除）元素来获得子序列，剩下的元素保持其原始顺序。

算法1

(贪心) $O(n)$

题解1:贪心。摆动序列如果画在坐标轴上的时候，它的形式其实就是向山峰一样，把所有的山顶（极大值）和山谷（极小值）元素拿出来就是一个最优解。

所以我们只需要找出所有的山顶和山谷就可以了(A,D,E,G,H,I)。

我们使用cur_type来标记上一个元素的状态，如果cur_type > 0，说明上一个元素的状态是上升，否则是下降,初始值为0。res标记当前答案是多少，初始值为1。我们从前往后遍历数组，把当前数字和上一个元素进行比较：

如果当前元素大于上一个元素，并且上一个元素的状态是下降，那么说明我们找到了一个山谷（极小值），那么更新答案和变化状态。

如果当前元素小于上一个元素，并且上一个元素的状态是上升，那么说明我们找到了一个山顶（极大值），那么更新答案和变化状态。

如果当前元素等于上一个元素，那么我们什么都不用做。

    int wiggleMaxLength(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size(),res = 1,cur_type = 0;
        if(n < 2) return n;
        for(int i = 1 ; i < n ; i ++)
        {
            if(nums[i] > nums[i - 1] && cur_type <= 0)
            {
                cur_type = 1;
                res ++;
            }else if(nums[i] < nums[i - 1] && cur_type >= 0)
            {
                cur_type = -1;
                res ++;
            }
        }
        return res;
    }

算法2

(动态规划) $O(n)$

题解2:动态规划。我们使用两个数组来分别表示前i个元素且最后一个状态是上升/下降的最长摆动序列长度。

状态表示：dp_up[i]代表前i个元素且最后一个状态是上升的最长摆动序列长度；dp_down[i]代表前i个元素且最后一个状态是下降的最长摆动序列长度。

状态初始化：dp_up[0] = dp_down[0] = 1，代表仅有一个元素时候的情况。

状态转移：如果nums[i] > nums[i - 1]，那么dp_up[i] = dp_down[i - 1] + 1，说明发生了一次由下降到上升的转折；如果nums[i] < nums[i - ]，那么dp_down[i] = dp_up[i - 1] + 1，说明发生了一次由上升到下降的转折。其余情况只要简单的和上一个状态一样即可。

答案表示：max(dp_up[n - 1],dp_down[n - 1])，分别代表最后一个状态是上升还是下降的最长摆动序列。

    int wiggleMaxLength(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        if(n < 2) return n;
        int dp_up[n] = {1},dp_down[n] = {1};
        for(int i = 1 ; i < n ; i ++)
        {
            if(nums[i] > nums[i - 1])
            {
                dp_up[i] = dp_down[i - 1] + 1;
                dp_down[i] = dp_down[i - 1];
            }else if(nums[i] < nums[i - 1])
            {
                dp_down[i] = dp_up[i - 1] + 1;
                dp_up[i] = dp_up[i - 1];
            }else
            {
                dp_down[i] = dp_down[i - 1];
                dp_up[i] = dp_up[i - 1];
            }
        }
        return max(dp_down[n - 1],dp_up[n - 1]);
    }