题目描述

在一个m×n的棋盘的每一格都放有一个礼物，每个礼物都有一定的价值（价值大于0）。

你可以从棋盘的左上角开始拿格子里的礼物，并每次向右或者向下移动一格直到到达棋盘的右下角。

给定一个棋盘及其上面的礼物，请计算你最多能拿到多少价值的礼物？

注意：

• m, n>0

样例

输入：
[
  [2,3,1],
  [1,7,1],
  [4,6,1]
]

输出：19

解释：沿着路径 2→3→7→6→1 可以得到拿到最大价值礼物。

算法1

(动态规划) $O(mn)$

状态定义: f[i][j]表示到达坐标为(i, j)的点时累计拿到的最大礼物价值,
由于只能向右或向下走, 所以当前点的上一个点只能是上边或者左边, 取能使f[i][j]最大的方案即可, 即f[i][j] = max(f[i - 1][j] + g[i][j], f[i][j - 1] + g[i][j])。

复杂度

每个状态只被计算一次, 时间复杂度$O(mn)$, 用了一个状态数组, 空间复杂度为$O(mn)$。

C++ 代码

class Solution {
public:
    int getMaxValue(vector<vector<int>>& grid) {

        int m = grid.size(), n = grid[0].size();
        vector<vector<int>> f(m + 1, vector<int>(n + 1));
        // 从1开始可以不用处理边界问题
        for(int i = 1; i <= m; i ++){
            for(int j = 1; j <= n; j ++){
                f[i][j] = max(f[i - 1][j] + grid[i - 1][j - 1], f[i][j - 1] + grid[i - 1][j - 1]);
            }
        }

        return f[m][n];
    }
};