AcWing 895. 最长上升子序列

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AcWing 895. 最长上升子序列原题链接简单

作者：

VictorWu , 2019-09-24 14:04:35 , 所有人可见 , 阅读 34494

238

113

最长上升子序列解题报告

给定一个长度为N的数列(w[N])，求数值严格单调递增的子序列的长度最长是多少。

样例

输入格式
第一行包含整数N。

第二行包含N个整数，表示完整序列。

输出格式
输出一个整数，表示最大长度。

数据范围
1 ≤ N ≤ 1000，
−1e9 ≤ 数列中的数 ≤ 1e9

输入样例：

7
3 1 2 1 8 5 6

输出样例：

算法1

(动态规划) $O(n^2)$

状态表示：f[i]表示从第一个数字开始算，以w[i]结尾的最大的上升序列。(以w[i]结尾的所有上升序列中属性为最大值的那一个)
状态计算（集合划分）：j∈(0,1,2,..,i-1), 在w[i] > w[j]时，
f[i] = max(f[i], f[j] + 1)。
有一个边界，若前面没有比i小的，f[i]为1（自己为结尾）。
最后在找f[i]的最大值。

时间复杂度

$O(n^2)$ 状态数($n$) * 转移数($n$)

C++ 代码

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1010;

int n;
int w[N], f[N];

int main() {
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i++) cin >> w[i];

    int mx = 1;    // 找出所计算的f[i]之中的最大值，边算边找
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        f[i] = 1;    // 设f[i]默认为1，找不到前面数字小于自己的时候就为1
        for (int j = 0; j < i; j++) {
            if (w[i] > w[j]) f[i] = max(f[i], f[j] + 1);    // 前一个小于自己的数结尾的最大上升子序列加上自己，即+1
        }
        mx = max(mx, f[i]);
    }

    cout << mx << endl;
    return 0;
}

算法2

(动态规划 + 二分) $O(nlogn)$

状态表示：f[i]表示长度为i的最长上升子序列，末尾最小的数字。(长度为i的最长上升子序列所有结尾中，结尾最小min的) 即长度为i的子序列末尾最小元素是什么。
状态计算：对于每一个w[i], 如果大于f[cnt-1](下标从0开始，cnt长度的最长上升子序列，末尾最小的数字)，那就cnt+1，使得最长上升序列长度+1，当前末尾最小元素为w[i]。若w[i]小于等于f[cnt-1],说明不会更新当前的长度，但之前末尾的最小元素要发生变化，找到第一个 大于或等于 (这里不能是大于) w[i]，更新以那时候末尾的最小元素。
f[i]一定以一个单调递增的数组，所以可以用二分法来找第一个大于或等于w[i]的数字。

时间复杂度

$O(nlogn)$ 状态数($n$) * 转移数($logn$)

C++ 代码

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1010;
int n, cnt;
int w[N], f[N];

int main() {
    cin >> n;
    for (int i = 0 ; i < n; i++) cin >> w[i];

    f[cnt++] = w[0];
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        if (w[i] > f[cnt-1]) f[cnt++] = w[i];
        else {
            int l = 0, r = cnt - 1;
            while (l < r) {
                int mid = (l + r) >> 1;
                if (f[mid] >= w[i]) r = mid;
                else l = mid + 1;
            }
            f[r] = w[i];
        }
    }
    cout << cnt << endl;
    return 0;
}

68 评论

Usokyun 2022-08-20 15:43

状态表示那里写错了把，f[i] 表示的是长度为i + 1单增子序列末尾最小值

aw7 2022-01-24 16:59

题解二,如果子序列长度相同，那么最末尾元素较小比较有优势
从数列首开始，如果a[i] > f[ans - 1] 则 f[ans ++] = a[i];
否则从f数组首开始找,找到第一个大于a[i]的f[x],更新，f[x]=a[i];
最后答案就是ans;
但是我dp做得少，怎么感觉这个解更像是贪心而不是dp,因为答案是f[]的下标感觉怪怪的…

笨死了 2023-07-17 17:41

这保存不了路径啊!!

friskzz 2023-10-19 16:12

两种好像都可以....

llwww 7个月前

#include<iostream>
using namespace std;
const int N=100010;
int a[N],q[N];

int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    for(int i=0;i<n;i++)cin>>a[i];
    int len=0;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        int l=0,r=len;
        if(a[i]>q[len])q[++len]=a[i];
        else 
        {
            while(l<r)
        {
            int mid=l+r+1>>1;
            if(q[mid]<a[i])l=mid;
            else r=mid-1;
        }
        q[r+1]=a[i];

        }
    }
    cout<<len;

}

大佬们看看哪里出错了

无敌的拖拉机 1个月前

正确代码
“#include [HTML_REMOVED]
#include [HTML_REMOVED]

using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
int n;
int a[N], q[N];

int main(){
cin >> n;
for(int i = 0; i < n; i ++) cin >> a[i];

int len = 0;
for(int i = 0; i < n; i ++){
    int l = 0, r = len; // 二分找到最大的小于当前数x的数c
    while(l < r){
        int mid = l + r + 1 >> 1;
        if(q[mid] < a[i]) l = mid;
        else r = mid - 1;
    }

    q[r + 1] = a[i];
    if(r + 1 > len) len ++;
}

cout << len << endl;
return 0;

}
“