推公式：

先对题目给出的公式进行变形，有

$$ \begin{align} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} &= \frac{1}{n!} \\\ n!(x + y) &= xy \\\ n! \cdot x &= (x - n!) \cdot y \\\ y &= \frac{x \cdot n!}{x - n!} \\\ y &= \frac{[(x - n!) + n!] \cdot n!}{x - n!} \\\ y &= n! + \frac{(n!)^2}{x - n!} \\\ \end{align} $$

由于 $x,y \in Z^+$，且 $n! \in Z^+$，故 $x - n!$ 是 $(n!)^2$ 的约数，且满足 $x \ge n!$

因此又可以推得 $(x - n!) \in Z^+$，且 $\dfrac{(n!)^2}{x - n!} \in Z^+$

进行一小步的换元，令 $t = (x - n!)$，则 $t \in Z^+$

而为了满足 $\dfrac{(n!)^2}{t} \in Z^+$，那就变成了求 $(n!)^2$ 的约数的问题了

故可以利用 AcWing 197. 阶乘分解的模型了。

对于算数基本定理 $n! = P_1^{l_1} \cdot P_2^{l_2} \cdots P_k^{l_k}$

有 $(n!)^2 = P_1^{2l_1} \cdot P_2^{2l_2} \cdots P_k^{2l_k}$

而 $n!$ 的约数个数是 $s = (l_1 + 1) \cdot (l_2 +1) \cdots (l_k + 1)$

则 $(n!)^2$ 的约数个数为 $s’ = (2l_1 + 1) \cdot (2l_2 +1) \cdots (2l_k + 1)$

Code

#include <iostream>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 1e6 + 10, mod = 1e9 + 7;

int n;
bool st[N];
int primes[N], cnt;

void get_primes(int n) {
    for (int i = 2; i <= n; ++ i) {
        if (!st[i]) primes[cnt ++ ] = i;
        for (int j = 0; primes[j] * i <= n; ++ j) {
            st[primes[j] * i] = true;
            if (i % primes[j] == 0) break;
        }
    }
}

int main() {
    cin >> n;
    get_primes(n);

    LL res = 1;
    for (int i = 0; i < cnt; ++ i) {
        int p = primes[i];
        int s = 0;
        for (int j = n; j; j /= p) s += j / p;
        res = (LL)(2 * s + 1) * res % mod;
    }
    cout << res << endl;
    return 0;
}