题目描述

给定一个长度为 n 的整数数列，以及一个整数 k，请用快速选择算法求出数列从小到大排序后的第 k 个数。

输入格式

第一行包含两个整数 n 和 k。

第二行包含 n 个整数（所有整数均在 1∼109 范围内），表示整数数列。

输出格式

输出一个整数，表示数列的第 k 小数。

数据范围

$$1≤n≤100000,$$
$$1≤k≤n$$

输入样例：

5 3
2 4 1 5 3

输出样例：

3

算法1

直接快速排序

时间复杂度

$O(n^2)$

C++ 代码

#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 1e6+10;
int n, k;
int q[N];
void swap(int &m, int &n){
    int temp = m;
    m = n;
    n  = temp;
}
void quick_sort(int q[], int l, int r){
    if (l>=r) return;
    int i=l-1, j = r+1, x = q[(l+r)/2];
    while(i<j){
        do i++;while(q[i]<x);
        do j--; while(q[j]>x);
        if(i<j) swap(q[i], q[j]);
    }

    quick_sort(q, l, j);
    quick_sort(q, j+1, r);
}
int main(){
    scanf("%d%d", &n, &k);
    for(int i=0;i<n;i++) scanf("%d", &q[i]);
    quick_sort(q, 0, n-1);
    printf("%d",q[k-1]);
}

算法2

快速选择算法

快速排序和选择相结合

时间复杂度

$$O(n)$$

思路

1. 以快速排序为基础
   (1) 找到分界点x, q[l], q[r], q[l+r >> 1]
   (2) 对left所有数<=x, 对right所有数>=x
   (3) 对left递归排序，对right递归排序

2. 快速选择

寻找数组中第k个最小的数

如果k小于Left长度，递归Left
如果k大于Left长度，递归Right，k变为k-Left长度

事件复杂度
n+n/2+n/4+....<=2n

C++ 代码

#include<iostream>
using namespace std;

const int N = 1000010;
int n, k;
int q[N];

int quick_sort(int l, int r, int k){
    if (l==r) return q[(l+r)/2];
    int i=l-1, j=r+1,x = q[(l+r)/2];
    while(i<j){
        while(q[++i]<x);
        while(q[--j]>x);
        if (i<j) swap(q[i], q[j]);
    }

    int sl = j-l+1;

    if (k<=sl) return quick_sort( l, j, k);
    else return quick_sort( j+1, r, k-sl);
}

int main(){

    cin>>n>>k;

    for(int i=0;i<n;i++) cin>>q[i];

    cout<<quick_sort( 0, n-1, k)<<endl;
}