y总的DP分析过程

状态表示： f[i][j]: 只考虑前i件物品，体积不大于j的所有选法的集合，值是集合中价值最大选法的价值。

状态计算：

 f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - k * v[i]] + k * w[i]);

从结果看来，y总在状态计算里，把状态分成了两种，

一种是不变f[i][j]，另一种是选第i件物品k件（0<=k）f[i - 1][j - k * v[i]] + k * w[i]

之后再对k进行优化

f[i , j ] = max( f[i-1,j] , f[i-1,j-v]+w ,  f[i-1,j-2*v]+2*w , f[i-1,j-3*v]+3*w , .....)
f[i , j-v]= max(             f[i-1,j-v]   ,  f[i-1,j-2*v] + w , f[i-1,j-2*v]+2*w , .....)
由上两式，可得出如下递推关系： 
                        f[i][j]=max(f[i,j-v]+w , f[i-1][j]) 

得出

 f[i][j] = max(f[i - 1][j],f[i][j-v[i]]+w[i]);

换一种可能的DP分析

状态表示： f[i][j]: 只考虑前i件物品，体积不大于j的所有选法的集合，值是集合中价值最大选法的价值。

不同的是状态计算，同样的我们也把状态分成两种

但一种是不选第i件物品f[i - 1][j], 另一种是选了第i件物品一件f[i][j-v[i]]+w[i]

不选第i件物品，相当于只考虑前i - 1件物品，体积不大于j的选法

关键是选了第i件物品一件的情况，选了之后背包体积自然变成了j - v[i]

重要的是，我们之后还可以再选第i件物品，所以之后考虑前i件物品，体积不大于j - v[i]的选法

状态初始化：f[0][0~m] = f[0~n][0] = 0;

优化输入后的二维完全背包

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m;
int v, w;
int f[N][N];

int main()
{
    cin >> n >> m;

    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        cin >> v >> w;
        for (int j = 0; j <= m; j ++ )
        {
            f[i][j] = f[i - 1][j];
            if (j >= v) f[i][j] = max(f[i][j], f[i][j - v] +  w);
        }
    }           

    cout << f[n][m] << endl;

    return 0;
}

一维完全背包

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m;
int v, w;
int f[N];

int main()
{
    cin >> n >> m;

    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        cin >> v >> w;
        for (int j = v; j <= m; j ++ )
            f[j] = max(f[j], f[j - v] +  w);
    }           

    cout << f[m] << endl;

    return 0;
}