一个堪比模板题的路径问题的动态规划

题目

403. 青蛙过河

一只青蛙想要过河。 假定河流被等分为若干个单元格，并且在每一个单元格内都有可能放有一块石子（也有可能没有）。 青蛙可以跳上石子，但是不可以跳入水中。

给你石子的位置列表 stones（用单元格序号 升序 表示）， 请判定青蛙能否成功过河（即能否在最后一步跳至最后一块石子上）。

开始时， 青蛙默认已站在第一块石子上，并可以假定它第一步只能跳跃一个单位（即只能从单元格 1 跳至单元格 2 ）。

如果青蛙上一步跳跃了 k 个单位，那么它接下来的跳跃距离只能选择为 k - 1、k 或 k + 1 个单位。 另请注意，青蛙只能向前方（终点的方向）跳跃。

示例 1：

输入：stones = [0,1,3,5,6,8,12,17]
输出：true
解释：青蛙可以成功过河，按照如下方案跳跃：跳 1 个单位到第 2 块石子, 然后跳 2 个单位到第 3 块石子, 接着 跳 2 个单位到第 4 块石子, 然后跳 3 个单位到第 6 块石子, 跳 4 个单位到第 7 块石子, 最后，跳 5 个单位到第 8 个石子（即最后一块石子）。

示例 2：

输入：stones = [0,1,2,3,4,8,9,11]
输出：false
解释：这是因为第 5 和第 6 个石子之间的间距太大，没有可选的方案供青蛙跳跃过去。

提示：

• 2 <= stones.length <= 2000
• 0 <= stones[i] <= 231 - 1
• stones[0] == 0

题解

/**
 * @see 路径问题 https://leetcode-cn.com/problems/frog-jump/
 *
 */
public class canCrossClass {
    /**
     * @param stones
     * @return
     */
    public static boolean canCross(int[] stones) {
        int n = stones.length;
        boolean[][] dp = new boolean[2010][2010];
        //题目规定：开始时， 青蛙默认已站在第一块石子上，并可以假定它第一步只能跳跃一个单位（即只能从单元格 1 跳至单元格 2 ）。
        //切stones[0]一定为0，所以stones[1]必须为1
        if (stones[1] != 1) return false;
        dp[1][1] = true;

//---------------------------------------------------
        //集合：已经跳到了i位置，是从j位置跳过来的，上一次跳跃的距离是k
        //属性：能否跳到当前位置
        //集合划分：题目已经给出的三种跳跃状态
//--------------------------------------------------------------

        //为什么从i=2开始遍历？：因为数组的前两个数已经确定必须是0和1
        //为什么不遍历i=n？；因为i=n表示已经跳到了最后，状态就一定是true了
        for (int i = 2; i < n; i++) {
            //遍历i之前的所有石子(所以没有等号)
            for (int j = 1; j < i; j++) {
                //k为跳跃单独距离
                int k = stones[i] - stones[j];
                //上一次的点必须存在，才能接着往下跳，因为最多跳a+1，所以是从k或者k-1或者k+1跳过来的.要保证最远的那个点存在，才有机会发生状态转移
                if (k <= j + 1) {
                    dp[i][k] = dp[j][k] || dp[j][k - 1] || dp[j][k + 1];
                }
            }
        }
        //在所有跳到最后一步的方案中，只要找到一个为true的就说明能跳过去
        //方案数级为最后一行true的个数
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            if (dp[n - 1][i]) return true;
        }
        return false;
    }

    public static void main(String[] args) {
        int[] arr = {3,4,5,6,9};
        System.out.println(canCross(arr));

    }

}