算法1

筛法求欧拉函数

筛法求欧拉函数（适用于1~n求欧拉的情况）
① 先写出线性筛算法的模板。
② 考虑特殊情况：若该数是质数pp的话，那么该数的欧拉函数就是p−1p−1。
③ 每个数的欧拉函数与质因子的次数无关。例如：N=2100×3100N=2100×3100，但是N的欧拉函数还是N×(1−12)×(1−13)N×(1−12)×(1−13)
④ 若imodprimes[j]==0imodprimes[j]==0，由于primes[j]primes[j]是ii的一个质因子，并且在计算ii的欧拉函数的时候已经计算了primes[j]primes[j]出现的情况(1−1primes[j])(1−1primes[j])，所以φ(primes[j]×i)=primes[j]×φ(i)φ(primes[j]×i)=primes[j]×φ(i)。

⑤ 若imodprimes[j]!=0imodprimes[j]!=0，primes[j]primes[j]就一定是primes[j]×iprimes[j]×i的最小质因子，而且primes[j]primes[j]不包含在ii的质因子当中。由于φ(i)=i×(1−1p1)×(1−1p2)×…×(1−1pk)φ(i)=i×(1−1p1)×(1−1p2)×…×(1−1pk)，所以φ(primes[j]×i)=primes[j]×i×(1−1p1)×(1−1p2)×…×(1−1pk)×(1−1primes[j])φ(primes[j]×i)=primes[j]×i×(1−1p1)×(1−1p2)×…×(1−1pk)×(1−1primes[j])。最终就可以得到φ(primes[j]×i)=primes[j]×φ(i)×(1−1primes[j])=φ(i)×(primes[j]−1)φ(primes[j]×i)=primes[j]×φ(i)×(1−1primes[j])=φ(i)×(primes[j]−1)。

算法核心代码

int primes[N], cnt;     // primes[]存储所有素数
int euler[N];           // 存储每个数的欧拉函数
bool st[N];         // st[x]存储x是否被筛掉


void get_eulers(int n)
{
    euler[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i ++ )
    {
        if (!st[i])
        {
            primes[cnt ++ ] = i;
            euler[i] = i - 1;
        }
        for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++ )
        {
            int t = primes[j] * i;
            st[t] = true;
            if (i % primes[j] == 0)
            {
                euler[t] = euler[i] * primes[j];
                break;
            }
            euler[t] = euler[i] * (primes[j] - 1);
        }
    }
}

C++ 代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 1000010;
int primes[N], cnt; //primes数组存所有的质因子，cnt是下标
int phi[N]; //欧拉函数
bool st[N]; //表示每个数是否被筛掉了

LL get_eulers(int n)
{
    phi[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i ++) //线性筛
    {
        if (!st[i]) //当前没有被筛过就是质数
        {
            primes[cnt ++] = i;
            phi[i] = i - 1;
        }
        for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++)
        {
            st[primes[j] * i] = true;
            if (i % primes[j] == 0)
            {
                phi[primes[j] * i] = phi[i] * primes[j];
                break;
            }
            phi[primes[j] * i] = phi[i] * (primes[j] - 1);
        }
    }
    LL res = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
        res += phi[i];
    return res;
}

int main()
{
    int n;
    cin >> n;

    cout << get_eulers(n) << endl;
    return 0;
}