算法

约数个数

算术基本定理：任何一个正整数N都可以唯一地分解为: N = Pα11⋅Pα22⋅Pα33⋅⋅⋅PαkkP1α1·P2α2·P3α3···Pkαk
如： 12 = 2^2 * 3
36 = 2^2 * 3^2
···
约数的形式：d=Pβ11⋅Pβ22⋅Pβ33⋅⋅⋅Pβkkd=P1β1·P2β2·P3β3···Pkβk (0<=βi<=αi0<=βi<=αi)
约数个数：(α1+1)∗(α2+1)⋅⋅⋅(αk+1)
3.约数之和

(P01+P11+P21+Pα11)⋅⋅⋅(P0k+P1k+P2k+Pαkk)

如果 N = p1^c1 * p2^c2 * ... *pk^ck
约数个数： (c1 + 1) * (c2 + 1) * ... * (ck + 1)
约数之和： (p1^0 + p1^1 + ... + p1^c1) * ... * (pk^0 + pk^1 + ... + pk^ck)

C++ 代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <unordered_map>

using namespace std;
const int mod = 1e9 + 7;
typedef long long LL;

int main(){
    int n;
    cin >> n;

    unordered_map<int, int> primes;

    while(n --){
        int x;
        cin >> x;

        //分解质因数
        for(int i = 2; i <= x / i; i ++){
            while(x % i == 0){
                x /= i;
                primes[i] ++;
            }
        }
        if(x > 1) primes[x] ++;
    }

    //求约数个数
    LL res = 1;
    for(auto prime : primes){
        int p = prime.first, a = prime.second;
        LL t = 1;
        while(a --){
            t = (t * p + 1) % mod;
        }

        res = res * t % mod;
    }

    cout << res << endl;

    return 0;
}