题目描述

一只青蛙想要过河。 假定河流被等分为若干个单元格，并且在每一个单元格内都有可能放有一块石子（也有可能没有）。 青蛙可以跳上石子，但是不可以跳入水中。

给你石子的位置列表 stones（用单元格序号升序表示），请判定青蛙能否成功过河（即能否在最后一步跳至最后一块石子上）。

开始时，青蛙默认已站在第一块石子上，并可以假定它第一步只能跳跃一个单位（即只能从单元格 1 跳至单元格 2 ）。

如果青蛙上一步跳跃了k个单位，那么它接下来的跳跃距离只能选择为k - 1、k或k + 1个单位。另请注意，青蛙只能向前方（终点的方向）跳跃。

样例

输入：stones = [0,1,3,5,6,8,12,17]
输出：true
解释：青蛙可以成功过河，按照如下方案跳跃：跳 1 个单位到第 2 块石子, 然后跳 2 个单位到第 3 块石子, 接着 跳 2 个单位到第 4 块石子, 然后跳 3 个单位到第 6 块石子, 跳 4 个单位到第 7 块石子, 最后，跳 5 个单位到第 8 个石子（即最后一块石子）。

输入：stones = [0,1,2,3,4,8,9,11]
输出：false
解释：这是因为第 5 和第 6 个石子之间的间距太大，没有可选的方案供青蛙跳跃过去。

算法1

(动态规划) $O(n^2)$

时间复杂度：O(n^2)，我们需要遍历n个石子，每次遍历到第i个石子时，需要再遍历前i-1个石子，最坏的情况下，我们需要遍历前n-1个石子，所以时间复杂度为O(n^2)。

空间复杂度：O(n^2)，我们需要存储每个石子之间的转移状态，一共n*n个状态需要记录。

参考文献

Python 代码

1.状态表示：f[i][k]表示在上一次跳跃距离为k个单位的条件下，可以达到i石子。
属性：True/False表示是否可以到达该状态。

2.状态计算：
f[i][k] = f[j][k-1] || f[j][k] || f[j][k+1]
从j石子跳到i石子需要满足以上三个条件之一：某一个石子跳到j石子时的跳跃距离为k-1/k/k+1。
j石子与i石子之间距离k个单位，当有其他石子跳到j石子的跳跃距离为k-1/k/k+1时，k-1/k/k+1这三个跳跃距离都可以在下一次选择跳跃距离k。
所以满足上述的任意一个条件，都可以从j石子跳到i石子上。

3.代码优化
通过分析题目，我们可以得到在j石子时，最多能跳跃j+1个单位，所以从j石子与i石子之间的距离大于j+1时，j石子一定不能跳到i石子。

class Solution:
    def canCross(self, stones: List[int]) -> bool:
        n = len(stones)
        f = [[False]*n for _ in range(n)]

        f[0][0] = True

        # 第i-1格最多能跳i个单位长度
        for i in range(1, n):
            if stones[i] - stones[i-1] > i:
                return False

        for i in range(1, n):
            for j in range(i-1, -1, -1):
                # 第j格跳到第i格需要的距离k
                k = stones[i] - stones[j]

                # 青蛙在第j个石子上最多只能跳j+1个单位。
                if k > j + 1:
                    break

                # 则青蛙在第j格时的上一次跳跃距离为k-1/k/k+1即可满足条件。
                f[i][k] = f[j][k-1] or f[j][k] or f[j][k+1]


                if i == n-1 and f[i][k]:
                    return True

        return False