题目描述

一个正整数 n 可以表示成若干个正整数之和，形如：n=n1+n2+…+nk，其中 n1≥n2≥…≥nk,k≥1。

我们将这样的一种表示称为正整数 n 的一种划分。

现在给定一个正整数 n，请你求出 n 共有多少种不同的划分方法。

样例

输入样例:
5
输出样例：
7

算法一

这个问题可以转换为完全背包问题，1~i中任意一个数可以选无限次等价于，1~i个物品任意一个物品可以选无限次

#include<iostream>
using namespace std;
const int N=1010,mod=1e9+7;
int f[N][N];
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    for(int i=0;i<=n;i++)f[i][0]=1;//注意初始化从前i个物品里面选，总和为0的选法为1
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
            for(int k=0;k<=j/i;k++)
                f[i][j]=(f[i][j]+f[i-1][j-k*i])%mod;
    cout<<f[n][n]<<endl;
    return 0;
}

根据完全背包的优化

f[i][j]=f[i-1][j],f[i-1][j-i]......f[i-1][j-k*i]
f[i][j-i]=       ,f[i-1][j-i]......f[i-1][j-k*i]

#include<iostream>
using namespace std;
const int N=1010,mod=1e9+7;
int f[N][N];
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    for(int i=0;i<=n;i++)f[i][0]=1;//注意初始化从前i个物品里面选，总和为0的选法为1
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            f[i][j]=f[i-1][j]%mod;
            if(j>=i)f[i][j]=(f[i][j]+f[i][j-i])%mod;
        }
    cout<<f[n][n]<<endl;
    return 0;
}

#include<iostream>
using namespace std;
const int N=1010,mod=1e9+7;
int  f[N];
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    f[0]=1;//从前0个物品里面，总和为0选法为1
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=i;j<=n;j++)
                f[j]=(f[j]+f[j-i])%mod;
    cout<<f[n]<<endl;
    return 0;
}

算法二

#include<iostream>
using namespace std;
const int N=1010,mod=1e9+7;
int f[N][N];
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    f[0][0]=1;//总和是0，个数是0的方案数是1
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=i;j++)
        f[i][j]=(f[i-1][j-1]+f[i-j][j])%mod;
    int res=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)res=(res+f[n][i])%mod;//枚举总和是n,个是i
    cout<<res<<endl;
    return 0;
}