原来货币系统的面额数组用a[1...n]表示，简化后货币系统的面额数组用b[1...m]表示，这里的最小m即为题目要求我们求解出来的。

解法一：动态规划（完全背包模型）
从题目可分析得出三条性质：
(1) b[1...m]的每个元素不能由其它剩余元素的任意组合表示出来，否则，这个元素可被删除掉；
(2) a[1...n]的每个元素均可由b[1...m]的某种组合表示出来，否则，这两个系统不满足题目所述的等价的含义；
(3) b[1...m]的元素均来自a[1...n]。可用反证法来证明，如下：假设存在数组b中某元素值y不属于数组a ，根据货币系统等价的定义，货币系统b能表示出y则货币系统a也必然能表示出y，也就是说y可以写成a[1...n]的元素的某种组合的形式，不失一般性地，假设可写成y=a[1]+a[2]+a[3]，根据前面的性质(2)，a[1]、a[2]、a[3]可写成b[1...m]的某种组合，则y可写成b[1...m]的某种组合，这与性质(1)矛盾。故性质(3)成立。
有了上述三条性质之后，可得出这样的结论：b[1...m]由a[1...n]中不能由其它剩余元素表示出来的元素值组成。
因此，本题的思路就是：对a[1...n]排序，判断a[i]是否能由a[1...(i-1)]的某种组合表示出来（即完全背包问题，求方案数），若不能则保留，若能则删去，保留下来的即是b[1...m]。
(1) 朴素写法

import java.util.*;

public class Main{
    static int N = 110;
    static int M = 25010;
    static int[] a = new int[N];
    static int[][] f = new int[N][M];

    public static void main(String[] args){
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int T = sc.nextInt();
        while(T -- > 0){
            int n = sc.nextInt();
            for(int i = 1; i <= n; i ++) a[i] = sc.nextInt();

            // 初始化
            for(int i = 0; i < N; i ++)
                for(int j = 0; j < M; j ++){
                    if(j == 0) f[i][j] = 1;
                    else f[i][j] = 0;
            }
            Arrays.sort(a, 1, n + 1);
            int res = 0;
            for(int i = 1; i <= n; i ++)
                for(int j = 1; j <= a[n]; j ++){
                    if(j == a[i] && f[i - 1][j] == 0) res ++;
                    f[i][j] = f[i - 1][j];
                    if(j >= a[i]) f[i][j] += f[i][j - a[i]];
                }
            System.out.println(res);
        }
    }
}

(2) 空间优化后的写法

import java.util.*;

public class Main{
    static int N = 110;
    static int M = 25010;
    static int[] a = new int[N];
    static int[] f = new int[M];

    public static void main(String[] args){
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int T = sc.nextInt();
        while(T -- > 0){
            int n = sc.nextInt();
            for(int i = 1; i <= n; i ++) a[i] = sc.nextInt();

            Arrays.sort(a, 1, n + 1);
            Arrays.fill(f, 0);
            int res = 0;
            f[0] = 1; // 初始化
            for(int i = 1; i <= n; i ++){
                if(f[a[i]] == 0) res ++;
                for(int j = a[i]; j <= a[n]; j ++)
                    f[j] += f[j - a[i]];
            }
            System.out.println(res);
        }
    }
}