前缀和 && 差分

一维前缀和&&差分

前缀和

sum[i]=a[1]+a[2]+a[3].....a[i];

可以根据以上结果推出公式a[n] = a[n-1] + a[n]

差分

差分就是前缀和的逆运算。关系如下

如果 前缀和可以表示为f(x)=d 查分就是d=f(x)

具体看以下推理

a数组： a1, a2, a3, …, an

b数组：b1, b2, b3, …, bn

**a数组是b数组的前缀和**

a1 = b1;
a2 = b1 + b2;
a3 = b1 + b2 + b3;

**a数组是b数组的前缀和**

那么我们来看b=啥

a[0]= 0;

b[1] = a[1] - a[0];

b[2] = a[2] - a[1];

b[3] =a [3] - a[2];

........

b[n] = a[n] - a[n-1];

… .....


b(n) = a(n) - a(n-1) ----> an = b1 + b2 + b3 + … + bn

• 前缀和的差分=原序列
• 差分的前缀和=原序列
• 
• 所谓差分就是进行逆运算，让原数组成为新数组的前缀和，从而创造新数组。
• 所谓前缀和就是在这个数之前的数 和 这个数相加的总和，被称为前缀和。

核心部分
    b[l] += c;
    b[r + 1] -= c;

二维矩阵 前缀和 && 差分

矩阵前缀和

核心部分

• 如图所示

核心部分
s[i][j] = s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1]+a[i][j];

计算的是x1，y1到x2，y2的每个数的和

s[x2,y2] - s[x1-1,y2] - s[x2,y1-1] + s[x1-1, y1-1]

矩阵差分

• b[x1][ y1 ] +=c ; 对应图1 ,让整个a数组中蓝色矩形面积的元素都加上了c。

• b[x1,][y2+1]-=c ; 对应图2 ,让整个a数组中绿色矩形面积的元素再减去c，使其内元素不发生改变。

• b[x2+1][y1]- =c ; 对应图3 ,让整个a数组中紫色矩形面积的元素再减去c，使其内元素不发生改变。

• b[x2+1][y2+1]+=c; 对应图4,,让整个a数组中红色矩形面积的元素再加上c，红色内的相当于被减了两次，再加上一次c，才能使其恢复。

自个儿推


核心部分
b[i][j]+=a[i][j];
b[i+1][j]-=a[i][j];
b[i][j+1]-=a[i][j];
b[i+1][j+1]+=a[i][j];

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前缀和

输入一个长度为 n的整数序列。

接下来再输入 m
个询问，每个询问输入一对 l,r。

对于每个询问，输出原序列中从第 l
个数到第 r个数的和。

输入格式
[HTML_REMOVED][HTML_REMOVED][HTML_REMOVED]
第一行包含两个整数 n 和 m。

第二行包含 n个整数，表示整数数列。

接下来 m
行，每行包含两个整数 l 和 r，表示一个询问的区间范围

[HTML_REMOVED]

输出格式

共 m行，每行输出一个询问的结果。
数据范围

1≤l≤r≤n,

1≤n,m≤100000,

−1000≤数列中元素的值≤1000

输入样例：

5 3

2 1 3 6 4

1 2

1 3

2 4

输出样例：

3

6

10

#include <iostream>
#include <cstdio>

using namespace std;

const int N = 1e5+10;
int a[N];
int main()
{
  int n,m;
  int l,r;
  scanf("%d%d",&n,&m);
  for(int i = 1;i <= n;i ++)
    scanf("%d",&a[i]);

  for(int i = 1; i <= n;i ++)
    a[i] = a[i-1] + a[i];

  // //测试
  // for(int i = 1;i <= n;i ++)
  //   printf("%d ",a[i]);
  // puts("");


  while(m--)
  {
    cin >> l >> r;
    printf("%d\n",a[r]-a[l-1]);
  }
  return 0;
}

矩阵前缀和

输入一个 n 行 m 列的整数矩阵，再输入 q 个询问，每个询问包含四个整数 x1,y1,x2,y2，表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。

[HTML_REMOVED]
对于每个询问输出子矩阵中所有数的和。
输入格式

[HTML_REMOVED]
第一行包含三个整数 n，m，q。

接下来 n行，每行包含 m个整数，表示整数矩阵。

接下来 q行，每行包含四个整数 x1,y1,x2,y2，表示一组询问。
输出格式
[HTML_REMOVED]

共 q行，每行输出一个询问的结果。
数据范围

1≤n,m≤1000

1≤q≤200000,

1≤x1≤x2≤n,

1≤y1≤y2≤m,

−1000≤矩阵内元素的值≤1000

输入样例：

3 4 3

1 7 2 4

3 6 2 8

2 1 2 3

1 1 2 2

2 1 3 4

1 3 3 4

输出样例：

17

27

21

#include <iostream>
#include <cstdio>

using namespace std;

const int N = 1010;
int a[N][N],s[N][N];
int main()
{
  int n,m,q;
  scanf("%d%d%d",&n,&m,&q);
  for(int i = 1;i <= n ;i++)
    for(int j = 1;j <= m;j ++)
      scanf("%d",&a[i][j]);

  for(int i = 1;i <= n;i++)
    for(int j = 1;j <= m;j ++)
      s[i][j] = s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1]+a[i][j];

  while(q--)
  {
    int x1,x2,y1,y2;
    scanf("%d%d%d%d",&x1,&y1,&x2,&y2);
    printf("%d\n",s[x2][y2]-s[x1-1][y2]-s[x2][y1-1]+s[x1-1][y1-1]);
  }
  return 0;
}

差分

输入一个长度为 n的整数序列。

接下来输入 m个操作，每个操作包含三个整数 l,r,c，表示将序列中 [l,r] 之间的每个数加上 c。

请你输出进行完所有操作后的序列。
输入格式

第一行包含两个整数 n
和 m。

第二行包含 n个整数，表示整数序列。

接下来 m行，每行包含三个整数 l，r，c，表示一个操作。
输出格式

共一行，包含 n个整数，表示最终序列。

数据范围

1≤n,m≤100000

1≤l≤r≤n,

−1000≤c≤1000,

−1000≤整数序列中元素的值≤1000

输入样例：

6 3
1 2 2 1 2 1
1 3 1
3 5 1
1 6 1

输出样例：

3 4 5 3 4 2

#include <iostream>
#include <cstdio>

using namespace std;

const int N = 1e5+10;
int a[N];
int b[N];
int main()
{
  int n,m;
  scanf("%d%d",&n,&m);
  for(int i = 1;i <= n;i++)
    scanf("%d",&a[i]);

  //构造差分数组b1=a1,b2=a2-a1,b[n]=a[n]-a[n-1];
  for(int i = 1;i <= n;i++)
    b[i]=a[i]-a[i-1];

    //看链接 https://www.acwing.com/solution/content/26588/
  while(m--)
  {
    int l,r,c;
    scanf("%d%d%d",&l,&r,&c);
    b[l]+=c;
    b[r+1]-=c;
  }

  //把差分数组还原成原数组
  for(int i = 1;i <= n;i ++)
    b[i]+=b[i-1];

  for(int i = 1;i <= n;i++)
    printf("%d ",b[i]);
  return 0;
}

矩阵差分

输入一个 n 行 m 列的整数矩阵，再输入 q 个操作，每个操作包含五个整数 x1,y1,x2,y2,c，其中 (x1,y1) 和 (x2,y2)表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。

每个操作都要将选中的子矩阵中的每个元素的值加上 c。

请你将进行完所有操作后的矩阵输出。

输入格式

第一行包含整数 n,m,q。

接下来 n行，每行包含 m个整数，表示整数矩阵。

接下来 q行，每行包含 5 个整数 x1,y1,x2,y2,c，表示一个操作。

输出格式

共 n行，每行 m个整数，表示所有操作进行完毕后的最终矩阵。

数据范围

1≤n,m≤1000,
1≤q≤100000,
1≤x1≤x2≤n,
1≤y1≤y2≤m,
−1000≤c≤1000,
−1000≤矩阵内元素的值≤1000

输入样例：

3 4 3
1 2 2 1
3 2 2 1
1 1 1 1
1 1 2 2 1
1 3 2 3 2
3 1 3 4 1

输出样例：

2 3 4 1
4 3 4 1
2 2 2 2

#include <cstdio>
#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 5010;
int a[N][N],b[N][N];
void insert(int x1,int y1,int x2,int y2,int c)
{
  b[x1][y1] += c;
  b[x1][y2+1] -= c;
  b[x2+1][y1] -= c;
  b[x2+1][y2+1] += c;

}
int main()
{

  int n,m,q;

  //输入
  scanf("%d%d%d",&n,&m,&q);

  for(int i = 1;i <= n;i++)
    for(int j = 1;j <= m;j++)
      scanf("%d",&a[i][j]);

  //根据公式计算查分数组
  for(int i = 1;i <= n;i++)
    for(int j = 1;j <= m;j++)
      insert(i,j,i,j,a[i][j]);

  //对差分数组进行+c操作
  while(q--)
  {
    int x1,y1,x2,y2,c;
    scanf("%d%d%d%d%d",&x1,&y1,&x2,&y2,&c);
    insert(x1,y1,x2,y2,c);

  }

  //转换成a数组，由差分数组，求前缀和
  for(int i = 1; i <= n;i ++)
    for(int j = 1; j <= m;j ++)
      b[i][j] += b[i-1][j] + b[i][j-1] - b[i-1][j-1];

  //输出
  for(int i = 1; i <= n;i ++)
  {
    for(int j = 1; j <= m;j ++)
      printf("%d ",b[i][j]);
  puts("");
  }
  return 0;

}