题目描述
给定一个整数数组 prices
,其中第 i
个元素代表了第 i
天的股票价格;非负整数 fee
代表了交易股票的手续费用。
你可以无限次地完成交易,但是你每次交易都需要付手续费。如果你已经购买了一个股票,在卖出它之前你就不能再继续购买股票了。
返回获得利润的最大值。
注意:这里的一笔交易指买入持有并卖出股票的整个过程,每笔交易你只需要为支付一次手续费。
样例
输入: prices = [1, 3, 2, 8, 4, 9], fee = 2
输出: 8
解释: 能够达到的最大利润:
在此处买入 prices[0] = 1
在此处卖出 prices[3] = 8
在此处买入 prices[4] = 4
在此处卖出 prices[5] = 9
总利润: ((8 - 1) - 2) + ((9 - 4) - 2) = 8.
限制
1 <= prices.length <= 5 * 10^4
1 <= prices[i] < 5 * 10^4
0 <= fee < 5 * 10^4
算法
(动态规划) $O(n)$
- 设计状态 $f(i)$ 表示第 $i$ 天,当前不持有股票的最大收益;$g(i)$ 表示第 $i$ 天,当前持有股票的最大收益。下标从 1 开始。
- 初始值为 $f(0) = 0, g(0) = -\infty$。状态转移为 $f(i) = max(f(i - 1), g(i - 1) + prices[i] - fee)$,表示构成第 $i$天不持有股票有两种方式,一种是前一天也不持有,另一种是前一天持有且这一天售出,收益减去 $fee$;二者取最大值。
- $g(i) = max(g(i - 1), f(i - 1) - prices[i])$,表示构成第 $i$ 天持有股票有两种方式,一种是前一天持有,另一种是前一天不持有,但这一天刚刚买入。
- 最终答案为 $f(n)$,即最后一天不持有股票的最大收益。
优化
- 注意到状态转移之和前一层有关,故可以优化掉第一维。
- 每次提前取出前一层的值,用其更新为新的值即可。
时间复杂度
- 遍历数组一次,时间复杂度为 $O(n)$。
空间复杂度
- 优化后空间复杂度为常数。
C++ 代码
class Solution {
public:
int maxProfit(vector<int>& prices, int fee) {
int n = prices.size();
vector<int> f(n + 1), g(n + 1);
f[0] = 0;
g[0] = -1000000000;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
f[i] = max(f[i - 1], g[i - 1] + prices[i - 1] - fee);
g[i] = max(g[i - 1], f[i - 1] - prices[i - 1]);
}
return f[n];
}
};
讲解很详细,%%%大佬
想问一下为什么这样初始化:g(0)=−∞,而不是初始化为0呢?
因为g(0) 是非法状态,我们不希望从它转移
好的