题目描述

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。

第 i 种物品最多有 si 件，每件体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。

样例

输入样例
4 5
1 2 3
2 4 1
3 4 3
4 5 2
输出样例：
10

blablabla

暴力做法 时间复杂度$O(n^3)$

f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-v[i]]+w.....f[i-1][j-kv[i]]+kw[i])

f[i][j-v[i]]=max(f[i-1][j-v[i]],f[i-1][j-2v[i]]+w[i]......f[i-1][j-kv[i]]+(k-1)w[i],f[i-1][j-(k+1)v[i]]+k*w[i])

通过观察发现，f[i][j-v[i]]加上一个w比上面的式子多出了f[i-1][j-(k+1)v[i]]+(k+1)w[i],然而max只能做加法运算，不能做减法运算。本质原因是第i个物品有限个，当j-kv[i]时候，可能存在以一种情况，当前空间还可以放第i个物品，所以多出了f[i-1][j-(k+1)v[i]]+(k+1)*w[i]

C++ 代码

#include<iostream>
using namespace std;
const int N=110;
int v[N],w[N],s[N];
int f[N][N];
int main()
{
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)cin>>v[i]>>w[i]>>s[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
            for(int k=0;k<=s[i]&&k<=j/v[i];k++)
            {
                f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i]);
            }
    cout<<f[n][m]<<endl;
    return 0;
}