题目描述

n− 皇后问题是指将 n 个皇后放在 n×n 的国际象棋棋盘上，使得皇后不能相互攻击到，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上。

现在给定整数 n，请你输出所有的满足条件的棋子摆法。

输入格式

共一行，包含整数 n。

输出格式

每个解决方案占 n 行，每行输出一个长度为 n 的字符串，用来表示完整的棋盘状态。

其中 . 表示某一个位置的方格状态为空，Q 表示某一个位置的方格上摆着皇后。

每个方案输出完成后，输出一个空行。

注意：行末不能有多余空格。

输出方案的顺序任意，只要不重复且没有遗漏即可。

数据范围

1≤n≤9

输入样例：

4

输出样例：

.Q..
...Q
Q...
..Q.

..Q.
Q...
...Q
.Q..

方法一：按照全排列的方法来枚举所有可能

可以将全排列中的位数看作皇后在第几行，数值看作在第几列，因此枚举所有的全排列就是枚举所有可能出现的皇后的位置。可以枚举一个全排列后进行判断是否满足皇后问题的条件。也可以提前退出，对于这个题目来说，只要出现了不满足条件的数那么这个全排列方案就一定不满足了（剪枝儿）

时间复杂度：

n * n!

难点：

感觉这个题目的难点在于对是否满足条件的判断，题目要求两个皇后不能在同一行、列、对角线上，
- 行和列很好处理，设置一个bool数组，在枚举列的时候，使用到了这一列，就标记一下
- 对于对角线，就是找规律吧，对于对角线来说，可以通过截距来确定一条对角线，而截距可以通过坐标值来计算出，所以只要一个截距出现过一次，就标记一下

代码

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 20;

char g[N][N];
bool col[N], dg[N], udg[N];
int n;

void dfs(int u)
{
    if (u == n)
    {
        for (int i = 0; i < n; i ++) puts(g[i]);
        puts("");

        return;
    }
    // u代表行，i代表列
    for (int i = 0; i < n; i ++)
        if (!col[i] && !dg[i - u] && !udg[i + u])
        {
            col[i] = dg[i - u] = udg[i + u] = true;
            g[u][i] = 'Q';
            dfs(u + 1);
            col[i] = dg[i - u] = udg[i + u] = false;
            g[u][i] = '.';
        }
}

int main()
{
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i ++)
        for (int j = 0; j < n; j ++)
            g[i][j] = '.';

    dfs(0);

    return 0;
}

方法二：枚举所有的格子

时间复杂度

2 ^ n^2

参考文献

C++ 代码

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 20;

int n;
char g[N][N];
bool row[N], col[N], dg[N], udg[N];

void dfs(int x, int y, int s)
{
    if (y == n) y = 0, x ++;

    if (x == n)
    {
        if (s == n)
        {
            for (int i = 0; i < n; i ++) puts(g[i]);
            puts("");
        }

        return;
    }

//  不放皇后
    dfs(x, y + 1, s);

//  放皇后
    if (!row[x] && !col[y] && !dg[x + y] && !udg[x - y + n])
    {
        row[x] = col[y] = dg[x + y] = udg[x - y + n] = true;
        g[x][y] = 'Q';
        dfs(x, y + 1, s + 1); 
        row[x] = col[y] = dg[x + y] = udg[x - y + n] = false;
        g[x][y] = '.';
    } 
}

int main()
{
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i ++)
        for (int j = 0; j < n; j ++)
            g[i][j] = '.';

    dfs(0, 0, 0);

    return 0;
}