题目描述

共有 n 名小伙伴一起做游戏。小伙伴们围成一圈，按 顺时针顺序 从 1 到 n 编号。确切地说，从第 i 名小伙伴顺时针移动一位会到达第 (i+1) 名小伙伴的位置，其中 1 <= i < n，从第 n 名小伙伴顺时针移动一位会回到第 1 名小伙伴的位置。

游戏遵循如下规则：

1. 从第 1 名小伙伴所在位置 开始。
2. 沿着顺时针方向数 k 名小伙伴，计数时需要 包含 起始时的那位小伙伴。逐个绕圈进行计数，一些小伙伴可能会被数过不止一次。
3. 你数到的最后一名小伙伴需要离开圈子，并视作输掉游戏。
4. 如果圈子中仍然有不止一名小伙伴，从刚刚输掉的小伙伴的 顺时针下一位 小伙伴 开始，回到步骤 2 继续执行。
5. 否则，圈子中最后一名小伙伴赢得游戏。

给你参与游戏的小伙伴总数 n，和一个整数 k，返回游戏的获胜者。

样例

输入：n = 5, k = 2
输出：3
解释：游戏运行步骤如下：
1) 从小伙伴 1 开始。
2) 顺时针数 2 名小伙伴，也就是小伙伴 1 和 2。
3) 小伙伴 2 离开圈子。下一次从小伙伴 3 开始。
4) 顺时针数 2 名小伙伴，也就是小伙伴 3 和 4。
5) 小伙伴 4 离开圈子。下一次从小伙伴 5 开始。
6) 顺时针数 2 名小伙伴，也就是小伙伴 5 和 1。
7) 小伙伴 1 离开圈子。下一次从小伙伴 3 开始。
8) 顺时针数 2 名小伙伴，也就是小伙伴 3 和 5。
9) 小伙伴 5 离开圈子。只剩下小伙伴 3 。所以小伙伴 3 是游戏的获胜者。

输入：n = 6, k = 5
输出：1
解释：小伙伴离开圈子的顺序：5、4、6、2、3 。小伙伴 1 是游戏的获胜者。

限制

• 1 <= k <= n <= 500

算法

(数学，约瑟夫环问题) $O(n)$

1. 将 n 个人的编号看做 0 到 n - 1。
2. 假设 k < n，则第一轮会淘汰掉编号为 k - 1 的人。剩下的人编号为 0, 1, ..., k - 2, k, k + 1, ... n - 1，下一轮游戏则会从 k 开始。我们进行重编号，即 k 变成 0，k + 1 变为 1，以此类推。之前编号小于 k 的，假设为 x，则编号变为 n - k + x。如果 k >= n 也同理，当游戏人数为 n 时，游戏后，编号会变为 (x - k + n) % n。
3. 已知最后一轮游戏，只有一位玩家会被淘汰（获胜），编号为 0。那根据上述的递推公式，倒数第二轮开始前，在最后一轮被淘汰的游戏者的编号会变为 (0 + k) % 2。继续往回退，每次编号都会变为上一次的编号，加上 k，然后模游戏的人数。
4. 一直到第一轮游戏前，得到最后一位玩家的初始编号。

时间复杂度

• 从 1 到 n 递推，总时间复杂度为 $O(n)$。

空间复杂度

• 仅需要常数的额外空间。

C++ 代码

class Solution {
public:
    int findTheWinner(int n, int k) {
        int ans = 0;

        for (int i = 2; i <= n; i++)
            ans = (ans + k) % i;

        return ans + 1;
    }
};