题目描述

n− 皇后问题是指将 n 个皇后放在 n×n 的国际象棋棋盘上，使得皇后不能相互攻击到，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上。

现在给定整数 n，请你输出所有的满足条件的棋子摆法。

输入格式
共一行，包含整数 n。

输出格式
每个解决方案占 n 行，每行输出一个长度为 n 的字符串，用来表示完整的棋盘状态。

其中 . 表示某一个位置的方格状态为空，Q 表示某一个位置的方格上摆着皇后。

每个方案输出完成后，输出一个空行。

注意：行末不能有多余空格。

输出方案的顺序任意，只要不重复且没有遗漏即可。

样例

数据范围
1≤n≤9
输入样例：
4
输出样例：
.Q..
...Q
Q...
..Q.

..Q.
Q...
...Q
.Q..

算法1

(暴力枚举) $O(n*n!)$

C++ 代码

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

int n;
vector<bool> up, down, col;
vector<vector<char>> table;
void dfs(int u){
    if(u == n){
        for(int i = 0; i < n; ++i){
            for(int j = 0; j < n; ++j){
                cout<<table[i][j];
            }
            cout<<endl;
        }
        cout<<endl;
        return;
    }
    //枚举每一行的每一个位置
    for(int j = 0; j < n; ++j){
        if(!col[j] && !up[u + j] && !down[u - j + n]){
            table[u][j] = 'Q';
            col[j] = up[u + j] = down[u - j + n] = true;
            dfs(u + 1);
            col[j] = up[u + j] = down[u - j + n] = false;
            table[u][j] = '.';
        }
    }
}
int main(){
    cin>>n;

    col = vector<bool>(n, false);
    down = vector<bool>(2*n, false);
    up = vector<bool>(2*n, false);

    table = vector<vector<char>>(n, vector(n, '.'));

    //dfs每一行
    dfs(0);
    return 0;
}

直接将状态用map存

#include <iostream>
#include <vector>
#include <unordered_map>
using namespace std;

int n;
unordered_map<int, bool> up, down, col;
vector<vector<char>> table;
void dfs(int u){
    if(u == n){
        for(int i = 0; i < n; ++i){
            for(int j = 0; j < n; ++j){
                cout<<table[i][j];
            }
            cout<<endl;
        }
        cout<<endl;
        return;
    }
    //枚举每一行的每一个位置
    for(int j = 0; j < n; ++j){
        if(!col[j] && !up[u + j] && !down[u - j]){
            table[u][j] = 'Q';
            col[j] = up[u + j] = down[u - j] = true;
            dfs(u + 1);
            col[j] = up[u + j] = down[u - j] = false;
            table[u][j] = '.';
        }
    }
}
int main(){
    cin>>n;
    table = vector<vector<char>>(n, vector(n, '.'));

    //dfs每一行
    dfs(0);
    return 0;
}

o(2^(n^2))

#include <iostream>
#include <unordered_map>
using namespace std;

const int N = 10;

int n;
bool row[N], col[N], up[N * 2], down[N * 2];
char g[N][N];

void dfs(int x, int y, int s){
    if(y == n){
        y = 0;
        ++x;
    }
    if(x == n){
        if(s == n){
            for (int i = 0; i < n; i ++ ) puts(g[i]);
            puts("");
        }
        return;
    }
    if(x > n) return;
    //不放皇后
    dfs(x, y + 1, s);

    //放皇后
    if(!row[x] && !col[y] && !up[x + y] && !down[x - y + n]){
        g[x][y] = 'Q';
        row[x] = col[y] = up[x + y] = down[x - y + n] = true;
        dfs(x, y + 1, s + 1);
        g[x][y] = '.';
        row[x] = col[y] = up[x + y] = down[x - y + n] = false;
    }
}
int main(){
    cin>>n;
    for(int i = 0; i < n; ++i){
        for(int j = 0; j < n; ++j){
            g[i][j] = '.';
        }
    }
    //dfs每一个位置
    dfs(0,0,0);
    return 0;
}