题目描述

给定一个 n 个点 m 条边的无向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。

求最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。

给定一张边带权的无向图$G=(V,E)$
其中$V$表示图中点的集合，$E$表示图中边的集合，$n=|V|$ ，$m=|E|$ 。

由 $V $ 中的全部 $ n $个顶点和$ E $ 中 $n−1$ 条边构成的无向连通子图被称为 $G$ 的一棵生成树，其中边的权值之和最小的生成树被称为无向图 $ G$ 的最小生成树。

输入格式

第一行包含两个整数 n 和 m 。

接下来 m 行，每行包含三个整数 u,v,w ，表示点 u 和点 v 之间存在一条权值为 w 的边。

输出格式

共一行，若存在最小生成树，则输出一个整数，表示最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。

数据范围

$1≤n≤500$ ,
$1≤m≤10^5$ ,
图中涉及边的边权的绝对值均不超过 10000 。

输入样例：

4 5
1 2 1
1 3 2
1 4 3
2 3 2
3 4 4

输出样例：

6

prime最小生成树 $O(n^2)$ 用于稠密图

知识概要

模板

prime算法通过加点的方式来进行最小生成树的构造。
题目中数据范围可看出，边的数目远远大于点的数目，即稠密图，故而采用prime算法

//g[][]:图的邻接矩阵   dist[]:该点与集合之间的最小距离  sta[]:该点是否已经存储最小值  res:结果（权值和）
int g[N][N],dist[N],res,n,m;
bool sta[N];


void prim(){
    //n个点循环n次
    for(n){

        //找到集合外（还未确定最小距离的点）中dist值最小的点t，并修改t的状态值
        int t=-1;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            if(!sta[i]&&(dist[t]>dist[i]||t==-1)){
                t=i;
            }
        }
        sta[t]=true;

        //如果当前不是第一个点（第一个点距离为0不用加），将距离累加到结果上
        if(j) res+=dist[t];

        //判断当前选中点是否是联通的（可能没有最小生成树）
        if(j&&dist[t]==INF){
            cout<<"impossible";
            return;
        }

        //用点t更新其他点（注意更新条件，和最短路径等算法更新方式不同）
        for(int i=1;i<=n;i++){
            if(dist[i]>g[t][i])dist[i]=g[t][i];
        }

    }
    cout<<res<<endl;
}

C++ 代码

#include<iostream>
#include<cstring>

using namespace std;

int const N=5e2+10,INF=0x3f3f3f3f;
int g[N][N],dist[N],res,n,m;
bool sta[N];

void prim(){
    for(int j=0;j<n;j++){

        int t=-1;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            if(!sta[i]&&(dist[t]>dist[i]||t==-1)){
                t=i;
            }
        }

        sta[t]=true;

        if(j) res+=dist[t];

        if(j&&dist[t]==INF){
            cout<<"impossible";
            return;
        }


        for(int i=1;i<=n;i++){
            if(dist[i]>g[t][i])dist[i]=g[t][i];
        }

    }
    cout<<res<<endl;
}
int main(){
    cin>>n>>m;
    memset(dist,INF,sizeof dist);
    memset(g,INF,sizeof g);
    while(m--){
        int a,b,c;
        cin>>a>>b>>c;
        if(g[a][b]>c) g[a][b]=g[b][a]=c;
    }
    prim();
    return 0;
}

⭐⭐
由于是无向图，所以录入边的时候要注意两边都录入
if(g[a][b]>c) g[a][b]=g[b][a]=c;