题目描述

给你两个正整数数组 nums1 和 nums2，数组的长度都是 n。

数组 nums1 和 nums2 的 绝对差值和 定义为所有 |nums1[i] - nums2[i]|（0 <= i < n）的 总和（下标从 0 开始）。

你可以选用 nums1 中的 任意一个 元素来替换 nums1 中的 至多 一个元素，以 最小化 绝对差值和。

在替换数组 nums1 中最多一个元素 之后，返回最小绝对差值和。因为答案可能很大，所以需要对 10^9 + 7 取余 后返回。

|x| 定义为：

• 如果 x >= 0，值为 x，或者
• 如果 x <= 0，值为 -x。

样例

输入：nums1 = [1,7,5], nums2 = [2,3,5]
输出：3
解释：有两种可能的最优方案：
- 将第二个元素替换为第一个元素：[1,7,5] => [1,1,5]，或者
- 将第二个元素替换为第三个元素：[1,7,5] => [1,5,5]。
两种方案的绝对差值和都是 |1-2| + (|1-3| 或者 |5-3|) + |5-5| = 3。

输入：nums1 = [2,4,6,8,10], nums2 = [2,4,6,8,10]
输出：0
解释：nums1 和 nums2 相等，所以不用替换元素。绝对差值和为 0。

输入：nums1 = [1,10,4,4,2,7], nums2 = [9,3,5,1,7,4]
输出：20
解释：将第一个元素替换为第二个元素：[1,10,4,4,2,7] => [10,10,4,4,2,7]
绝对差值和为 |10-9| + |10-3| + |4-5| + |4-1| + |2-7| + |7-4| = 20。

限制

• n == nums1.length
• n == nums2.length
• 1 <= n <= 10^5
• 1 <= nums1[i], nums2[i] <= 10^5

算法

(二分) $O(n \log n)$

1. 遍历数组一次计算出不改变数组的情况下的答案。
2. 将 nums1 拷贝一份，从小到大排序。
3. 再次遍历数组，遍历时，尝试替换 $i$ 位置的元素为 $nums1$ 中最接近 $nums2(i)$ 的元素。这里可以通过二分进行检索。然后更新答案。

时间复杂度

• 排序的时间复杂度为 $O(n \log n)$。
• 每个位置二分，时间复杂度为 $O(\log n)$。
• 故总时间复杂度为 $O(n \log n)$。

空间复杂度

• 需要 $O(n)$ 的额外空间存储临时数组。

C++ 代码

#define LL long long

class Solution {
public:
    int minAbsoluteSumDiff(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
        const int mod = 1000000007;
        const int n = nums1.size();

        LL res = 0;
        vector<int> s(n);
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            res += abs(nums1[i] - nums2[i]);
            s[i] = nums1[i];
        }

        sort(s.begin(), s.end());

        LL ans = res;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            int l = 0, r = n - 1; 
            while (l < r) {
                int mid = (l + r) >> 1;
                if (nums2[i] <= s[mid]) r = mid;
                else l = mid + 1;
            }
            ans = min(ans, 
                res - abs(nums1[i] - nums2[i]) + abs(s[l] - nums2[i]));
            if (l > 0)
                ans = min(ans,
                    res - abs(nums1[i] - nums2[i]) + abs(s[l - 1] - nums2[i]));
        }

        return ans % mod;
    }
};