题目描述

给你一个整数数组 coins 表示不同面额的硬币，另给一个整数 amount 表示总金额。

请你计算并返回可以凑成总金额的硬币组合数。如果任何硬币组合都无法凑出总金额，返回 0。

假设每一种面额的硬币有无限个。

题目数据保证结果符合 32 位带符号整数。

样例

输入：amount = 5, coins = [1, 2, 5]
输出：4
解释：有四种方式可以凑成总金额：
5=5
5=2+2+1
5=2+1+1+1
5=1+1+1+1+1

输入：amount = 3, coins = [2]
输出：0
解释：只用面额 2 的硬币不能凑成总金额 3。

输入：amount = 10, coins = [10] 
输出：1

限制

• 1 <= coins.length <= 300
• 1 <= coins[i] <= 5000
• coins 中的所有值 互不相同。
• 0 <= amount <= 5000

算法

(动态规划，完全背包) $O(amount \cdot n)$

1. 将总金额视为背包容量，将硬币的面额视为重量，价值视为 $1$，此题就是变种的固定容量完全背包问题。
2. 设状态 $f(j)$ 表示硬币总面额为 $j$ 时的方案数。
3. 初始时 $f(0) = 1$。
4. 对于每一种硬币面额 $coins(i)$，$j$ 从 $coins(i)$ 枚举到 $amount$，累计转移 $f(j) = f(j) + f(j - coins(i))$。
5. 最终答案为 $f(amount)$。

时间复杂度

• 状态数为 $O(amount)$，转移总数为$O(n)$，每次转移的时间复杂度为 $O(1)$，故总时间复杂度为 $O(amount \cdot n)$。

C++ 代码

class Solution {
public:
    int change(int amount, vector<int>& coins) {
        int n = coins.size();
        vector<int> f(amount + 1, 0);
        f[0] = 1;

        for (int i = 0; i < n; i++)
            for (int j = coins[i]; j <= amount; j++)
                f[j] += f[j - coins[i]];

        return f[amount];
    }
};