A*算法原理

分析

• 这一题的估价函数：每个点到终点的最短距离。这个可以反向求解，只需要在反向图上跑一边dijkstra算法即可。

• 那么如何求解第K短路呢？

当终点第一次从队列中弹出来的时候，一定是最短路径（上面A*算法中已经证明了）。因此可以猜想，当终点从队列中第K次弹出来的时候，就是第K短路径，这个猜想的证明思路是类似的，只需要证明第二次弹出的是第二小的即可，也可以使用反证法，将上面A*算法证明中的最小值换成第二小值即可。

#include <iostream>
#include <queue>
#include <cstring>

#define x first
#define y second

using namespace std;

typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<int, PII> PIII;

const int N = 1010, M = 200010;

int n, m, S, T, K;
// 正向邻接表表头,反向邻接表表头,边,边权,next指针
int h[N], rh[N], e[M], w[M], ne[M], idx;
int dist[N];  // 记录反向表中终点到其他各个点的距离,估价函数的作用
int cnt[N];  // 记录每个点在队列中出现的次数
bool st[N];  // dijkstra过程中的判重数组

void add(int h[], int a, int b, int c) {
    e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}

// 在反向图中运行dijkstra,求出终点到其余各点的最短路径
void dijkstra() {

    priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> heap;
    heap.push({0, T});  // (距离T的距离，当前点)

    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    dist[T] = 0;

    while (heap.size()) {
        auto t = heap.top(); heap.pop();

        int ver = t.y;
        // BFS入队的时候就可以确定该点的最短路径
        // dijkstra在出队的时候可以确定该点的最短路径
        // astar只有终点在出队的时候可以确定该点最短路径
        if (st[ver]) continue;
        st[ver] = true;

        for (int i = rh[ver]; ~i; i = ne[i]) {
            int j = e[i];  // ver->j, 权重为w[i]
            if (dist[j] > dist[ver] + w[i]) {
                dist[j] = dist[ver] + w[i];
                heap.push({dist[j], j});
            }
        }
    }
}

int astar() {

    priority_queue<PIII, vector<PIII>, greater<PIII>> heap;
    // (当前点v到起点的真实值+v到终点的估计值, (v到起点的真实值, v))
    heap.push({dist[S], {0, S}});

    while (heap.size()) {
        auto t = heap.top(); heap.pop();

        int ver = t.y.y, distance = t.y.x;
        cnt[ver]++;
        if (cnt[T] == K) return distance;

        // 扩展ver的相邻顶点，只要点在队列中的次数小于K，就要加入队列
        for (int i = h[ver]; ~i; i = ne[i]) {
            int j = e[i];
            if (cnt[j] < K) heap.push({distance + w[i] + dist[j], {distance + w[i], j}});
        }
    }

    return -1;
}

int main() {

    scanf("%d%d", &n, &m);
    memset(h, -1, sizeof h);
    memset(rh, -1, sizeof rh);

    for (int i = 0; i < m; i++) {
        int a, b, c;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
        add(h, a, b, c);
        add(rh, b, a, c);
    }
    scanf("%d%d%d", &S, &T, &K);
    if (S == T) K++;  // 每条最短路中至少要包含一条边

    dijkstra();
    printf("%d\n", astar());

    return 0;
}