题目描述

有 N 个学生合影，站成左端对齐的 k 排，每排分别有 N1,N2,…,Nk 个人。 (N1≥N2≥…≥Nk)

第 1 排站在最后边，第 k 排站在最前边。

学生的身高互不相同，把他们从高到底依次标记为 1,2,…,N。

在合影时要求每一排从左到右身高递减，每一列从后到前身高也递减。

问一共有多少种安排合影位置的方案？

下面的一排三角矩阵给出了当 N=6,k=3,N1=3,N2=2,N3=1 时的全部 16 种合影方案。注意身高最高的是 1，最低的是 6。

123 123 124 124 125 125 126 126 134 134 135 135 136 136 145 146
45 46 35 36 34 36 34 35 25 26 24 26 24 25 26 25
6 5 6 5 6 4 5 4 6 5 6 4 5 4 3 3
输入格式
输入包含多组测试数据。

每组数据两行，第一行包含一个整数 k 表示总排数。

第二行包含 k 个整数，表示从后向前每排的具体人数。

当输入 k=0 的数据时，表示输入终止，且该数据无需处理。

输出格式
每组测试数据输出一个答案，表示不同安排的数量。

每个答案占一行。

数据范围
1≤k≤5,学生总人数不超过 30 人。

样例

输入样例：
1
30
5
1 1 1 1 1
3
3 2 1
4
5 3 3 1
5
6 5 4 3 2
2
15 15
0
输出样例：
1
1
16
4158
141892608
9694845

算法1 常规的递推法

解法1: 按照字典序, 对各个状态进行计算, 使用dfs生成状态的字典序.

Python 代码

def solution(k, Ns):
    def dfs(idx):
        if idx >= k:
            states.append(state.copy())
            return
        for i in range(Ns[idx] + 1):
            if idx > 0 and i > state[idx - 1]: break 
            state[idx] = i
            dfs(idx + 1)

    states = []
    state = [0] * k
    dfs(0)

    if k == 1:
        return 1
    dp = {}
    dp[(0,) * k] = 1
    for i in range(1, len(states)):
        state = states[i]
        state_t = tuple(state)
        dp[state_t] = 0
        for r in range(k):
            if state[r] == 0: break
            if ((r + 1 < k and state[r] - 1 >= state[r + 1]) or (r + 1 == k)):
                state2 = state.copy()
                state2[r] -= 1
                state2_t = tuple(state2)
                dp[state_t] += dp[state2_t]
    # print(dp)
    return dp[state_t]

# %%
while True:
    k = int(input())
    if k == 0: break
    Ns = list(map(int, input().split()))
    print(solution(k, Ns))

算法2 刷表法

按照BFS顺序(与教材的方法一样)

Python 代码

# %% 
from collections import defaultdict

# %%
def solution(k, Ns):
    if k == 1: return 1
    Q = defaultdict(int)
    Q[(0,) * k] = 1
    c = 0
    N = sum(Ns)
    while Q:
        c += 1
        Q2 = defaultdict(int)
        for state, cnt in Q.items():
            for r in range(k):
                if state[r] == Ns[r]: continue
                if (r > 0 and state[r] + 1 <= state[r - 1]) or r == 0:
                    state2 = list(state)
                    state2[r] += 1
                    state2 = tuple(state2)
                    Q2[state2] += cnt
        Q = Q2
        if c == N:
            break
    return Q[state2]

# %%
while True:
    k = int(input())
    if k == 0: break
    Ns = list(map(int, input().split()))
    print(solution(k, Ns))