原题链接：小朋友排队

题目描述

$n$ 个小朋友站成一排。

现在要把他们按身高从低到高的顺序排列，但是每次只能交换位置相邻的两个小朋友。

每个小朋友都有一个不高兴的程度。

开始的时候，所有小朋友的不高兴程度都是 $0。$

如果某个小朋友第一次被要求交换，则他的不高兴程度增加 $1$，如果第二次要求他交换，则他的不高兴程度增加 $2$（即不高兴程度为 $3$），依次类推。当要求某个小朋友第 $k$ 次交换时，他的不高兴程度增加 $k$。

请问，要让所有小朋友按从低到高排队，他们的不高兴程度之和最小是多少。

如果有两个小朋友身高一样，则他们谁站在谁前面是没有关系的。

输入格式

输入的第一行包含一个整数 $n$，表示小朋友的个数。

第二行包含 $n$ 个整数 $H_1,H_2,…,H_n$，分别表示每个小朋友的身高。

输出格式

输出一行，包含一个整数，表示小朋友的不高兴程度和的最小值。

数据范围

$1≤n≤100000,$
$0≤Hi≤1000000$

输入样例1：

3
3 2 1

输出样例1：

9

样例解释：

首先交换身高为3和2的小朋友，再交换身高为3和1的小朋友，再交换身高为2和1的小朋友，每个小朋友的不高兴程度都是3，总和为9。

思路

可以证明，每个小朋友需要交换的次数是前面比它大的数和后面比它小的数，因为如果前面有比它大的数，那么它必定和前面的交换一次，使得前面大的数排到后面，同理可以知道比它小的数一定要和它交换到前面

那么我们求每个小朋友前后比它大/小的数就有两种方法

归并排序

对于合并时，我们都同时算出前面比它大的数和后面比它小的数

时间复杂度

$O(nlogn)$

C++ 代码

#include <iostream>
using namespace std;

#define x first
#define y second

typedef long long LL;
typedef pair<int,int> PII;

const int N = 100010;
PII w[N];
PII temp[N];
LL h[N];
int n;

void merge_sort(int l,int r) {
    if(l >= r) return;

    int mid = l + r >> 1;
    merge_sort(l, mid), merge_sort(mid + 1, r);

    int i = l, j = mid + 1,k = 0;
    while(i <= mid && j <= r) {
        if(w[i] <= w[j]) {
            h[w[i].y] += j - mid - 1;   // 相对于i来说，j 前面的数都比它小
            temp[k ++] = w[i ++];
        }
        else {
            h[w[j].y] += mid - i + 1;   // 相对于j来说，i 后面的数都比它大
            temp[k ++] = w[j ++];
        }
    }

    while(i <= mid) {
        h[w[i].y] += j - mid - 1;
        temp[k ++] = w[i ++];
    }
    while(j <= r){
        h[w[j].y] += mid - i + 1;   // 可以不需要，因为 mid - i + 1 总为0
        temp[k ++] = w[j ++];
    }

    for(i = l,j = 0;i <= r;i ++,j ++) w[i] = temp[j];

}

int main()
{
    cin >> n;

    for(int i = 0;i < n;i ++) scanf("%d",&w[i].x), w[i].y = i;
    merge_sort(0,n - 1);

    LL res = 0;
    for(int i = 0;i < n;i ++) {
        res += (1 + h[i]) * h[i] / 2;
    }
    cout << res << endl;
    return 0;
}

树状数组

时间复杂度

$O(nlogn)$

C++ 代码

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 1000010;
int w[N], tr[N];
int sum[N];
int n;

int lowbit(int x) {
    return x & -x;
}

int query(int x) {
    int res = 0;
    for(int i = x;i; i -= lowbit(i)) res += tr[i];
    return res;
}

void add(int x,int v) {
    for(int i = x;i < N;i += lowbit(i)) tr[i] += v;
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);

    for(int i = 1;i <= n;i ++) scanf("%d",&w[i]),w[i] ++;

    for(int i = 1;i <= n;i ++) {
        sum[i] = query(N - 1) - query(w[i]);
        add(w[i],1);
    }

    memset(tr, 0, sizeof tr);

    for(int i = n;i > 0;i --) {
        sum[i] += query(w[i] - 1);
        add(w[i],1);
    }

    LL res = 0;
    for(int i = 1;i <= n;i ++) res += (LL)sum[i] * (sum[i] + 1) / 2;
    cout << res << endl;
    return 0;
}